Теоретические сведения к выполнению контрольной работы

Вычисление пределов функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к (в точке ), если для любого существует такое, что при справедливо неравенство .

В этом случае пишут: .

В самой точке функция может и не существовать. Аналогично, запись обозначает, что для любого существует число такое, что при выполняется неравенство .

При вычислении пределов применяются следующие теоремы:

I. Если точка принадлежит области определения функции , то .

II. Если существуют конечные пределы (или ) и (или ), то

1. , где – постоянная.

2. .

3. .

4. , если .

Полагают, что , , где – постоянная, причем .

Вычисление предела , где , начинают всегда с подстановки в предельного значения её аргумента . В процессе вычисления пределов могут возникать неопределенности вида . В простейших случаях они раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Пример. Найти .

Решение. Используя теоремы о пределах, получим:

.

Ответ: 7.

Для раскрытия неопределенности при , если она задана отношением двух многочленов, сначала раскладывают на множители числитель и знаменатель, а затем сокращают на . При этом обычно используют формулы сокращенного умножения:

где – корни квадратного уравнения

В квадратном трёхчлене множитель выделяют разложением квадратного трёхчлена по формуле , где .

В выражении множитель выделяют следующим способом:

Пример. Найти .

Решение. При подстановке в выражение, стоящего под знаком предела предельного значения равного 3, получаем неопределенность . Для разложения числителя на множители решаем квадратное уравнение и находим корни и . Следовательно, . В знаменателе выносим за скобку, получим .После сокращения дроби на и подстановки в полученное выражение предельного значения , равного 3, получим:

.

Ответ:

Пример.Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень , то есть на . Знаменатель полученной дроби при не равен 0, следовательно, применяя теоремы о пределах получим:

Ответ: 0.

Пример.Найти

Решение. При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия сначала разделим числитель и знаменатель дроби на (старшую степень переменной в числителе и знаменателе), после чего используем свойства конечных пределов и бесконечно больших функций. Получим

Пример.Найти

Решение.При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Для её раскрытия выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель вида , где – некоторое число, т.е. множитель . Затем сократим на него числитель и знаменатель дроби, после чего используем свойства пределов.

В результате получим

.

Для вычисления пределов часто используются первый замечательный предел:

и второй замечательный предел:

или

,

а также их следствия:

,

,

.

При вычислении пределов также могут использоваться следующие известные пределы: , , ( ).

Таким образом, для раскрытия неопределённостей , содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, в числителе и знаменателе дроби выделяют сначала множители вида: , , , , где при , используя формулы тригонометрии: , , . После чего применяют свойства пределов, учитывая, что: , , , .

Для раскрытия неопределённости , возникающей при вычислении предела , где , , сначала выражение представляют в виде , где при . После чего используют свойства пределов, заменяя выражение его предельным значением и учитывая, что = .

Пример. Найти .

Решение. Так как под знаком предела , то числитель умножаем и делим на , а знаменатель – на , далее применяем первый замечательный предел и его следствие:

.

Ответ:

Пример. Найти

Решение. Выражение, стоящее под знаком предела при представляет собой неопределенность вида ( ), раскрываемую с помощью второго замечательного предела. Сделаем замену переменной . При имеем . Следовательно,

Ответ:

Пример. Найти

Решение. При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость . Выделим в числителе множители вида , где при и используем свойства пределов. Получим

.

Пример. Найти

Решение. При подстановке вместо переменной её предельного значения получим неопределённость ( ). Представим в виде , где при , следующим способом:

= . Тогда учитывая, что , , получим .

Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если для справедливо неравенство .

.

В определении предела в точке число может быть любым числом, в частности .

В определении непрерывности пределом может быть только значение в предельной точке .

Непрерывность в точке означает выполнение трех условий:

1) существование значения функции в предельной точке,

2) существование предела функции в рассматриваемой точке,

3) значение функции в предельной точке совпадает с пределом функции в заданной точке.

Если какое-либо из этих условий будет нарушено в заданной точке, то такая точка называется точкой разрыва.

Пример.Дана функция , выяснить является ли непрерывной в точках

1) =

2)

3) в точке функция непрерывна.

Теорема.Сумма, разность, произведение, частное двух непрерывных в точке функций (функция, стоящая в знаменателе 0) также являются непрерывными в точке функциями.

, g(x) 0

Определение. называется непрерывной на отрезке [а;b]если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Точками разрыва функции являются точки разрыва функций в промежутках , ,…, , кроме того, точками возможного разрыва функции являются точки в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями. Точка является точкой непрерывности функции тогда и только тогда, когда: .

Пример.Для указанной функции требуетсянайтиточки разрыва функции и исследовать их характер.Построить график функции.

.

Решение. Функции и непрерывны в промежутках и как элементарные функции, определённые в каждой точке данных промежутков, а функция в промежутке имеет точкой разрыва точку , в которой она не определена. Тогда для функции точка является точкой разрыва, а точки и , в окрестности которых и в самих точках функция задаётся разными аналитическими выражениями, являются точками возможного разрыва.

Исследуем на непрерывность точки :

1)

Следовательно, точка – точка разрыва 1-го рода функции .

2)

Следовательно, точка – точка бесконечного разрыва (2-го рода) функции .

3)

Следовательно, точка – точка непрерывности функции .

График функции имеет вид, изображённый на рисунке.

Ответ. – точка разрыва 1-го рода, –точка бесконечного разрыва функции , в точке функция непрерывна.

Производная

Приращением функции называется разность , где – приращение аргумента .

Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю, то этот предел называется производной функции в точке :

.

Обозначается производная одним из следующих символов:

, .

Если указанный предел существует, то функция является дифференцируемой в точке х.

Правила дифференцирования

Пусть – постоянное число, – некоторые дифференцируемые функции, тогда

1. ,

2. ,

3. ,

4.

5.

6. ,

7. ,