Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей размера m ´ n; здесь m – число строк, n – число столбцов.

Числа (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.

Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядка n.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .

Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если , то .

Очевидно, что .

Действия над матрицами

Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

А = В, если = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

А + В = С, если + = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Пример 1

.

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.

Пример 2

Матрица называется противоположнойматрице А.

Умножение матриц.

Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.

Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:

С = А · В , где С есть матрица размера m ´ p,

,

если , где (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,p).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.

Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.

Пример 3

Произведение двух матриц НЕподчиняется переместительному (коммутативному) закону

,

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Пример 4

Найти значение матричного многочлена , если , , .

Решение

.