Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru не равен нулю: Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . В противном случае ( Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ) матрица А называется вырожденной.

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где - Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru алгебраическое дополнение элемента Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru называется обратной матрице А, если выполняется условие: Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , (3.1) где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3,1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru (3.2) Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . (3.3)Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru и Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получим Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru т.е. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .Отметим свойства обратной матрицы: 1. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ; 2. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ;3. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru обозначают Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

1) Определителем матицы 1-го порядка Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , называется элемент Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru : Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . Произведения Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru называются членами определителя 2-го порядка.

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса.

Определители. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменяется, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно, Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Пример 2.3. Доказать, что Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 получим Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Дальнейшие свойства определителя связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru не равен нулю: Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . В противном случае ( Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ) матрица А называется вырожденной.

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где - Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru алгебраическое дополнение элемента Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru называется обратной матрице А, если выполняется условие: Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , (3.1) где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3,1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru (3.2) Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . (3.3)Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru и Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получим Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru т.е. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .Отметим свойства обратной матрицы: 1. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ; 2. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ;3. Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.

Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определитель матрицы Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru обозначают Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

1) Определителем матицы 1-го порядка Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru , называется элемент Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru : Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru ;

2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru . Произведения Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru называются членами определителя 2-го порядка.

3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

Невырожденные матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. - student2.ru .

Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса.



Наши рекомендации