Правило нахождения обратной матрицы

Решение матричных уравнений

Цель работы

1. Нахождение обратной матрицы.
2. Решение матричного уравнения c помощью обратной матрицы.

Теоретическое введение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. При сложении матриц складываются их соответствующие элементы,а при умножения матрицы на число на него умножается каждый элемент этой матрицы.

.

(1)

Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда число столбцов матрицы Aравно числу cтрок матрицы B. В результате умножения получается матрица C = A · B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B :

Матрица	A	B	C = A·B
Число строк	m	n	m
Число столбцов	n	l	l

Запишем матрицы A и B в виде

.
Обозначим элементы матрицы C = A · B через c, .
Тогда
.
По определению элемент c_{i j} , матрицы C = A · B равен скалярному произведению i-й строки матрицы A (i – первый индекс элемента c_{i j} ) на j-й столбец матрицы B ( j - второй индекс элемента c_{i j} ), т.е.

ci j = (ai 1 , ai 2 ,..., ai n ) · (b1 j , b2 j ,..., bn j ) = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ...+ ai n · bn j

(2)

Наряду с матрицей A будем рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы A. Эту матрицу называют транспонированной к A и обозначают через A^T .
Совокупность элементов a₁₁, a₂₂ , ..., a_{n n} , квадратной матрицы A = (a_{i j} ), n = m, называется главной диагональю матрицы.
Матрица, у которой моменты, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей, и обозначается буквой E. Так, единичная матрица 3-го порядка имеет вид
.
Единичная матрица обладает замечательным свойством:
умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную не меняет исходную матрицу т.е. A · E = E · A = A. Это свойства и объясняет ее название.
Матрица A^-1 называется обратной матрицей к квадратной матрице A, если

A·A-1 = A-1·A = E

(3)

Если определитель |A| квадратной матрицы A не равен нулю, то существует и, притом единственная, матрицаA^-1.

Правило нахождения обратной матрицы

Дополнительным минором M_{i j} к элементу a_{i j} квадратной матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца (на пересечении которых стоит элемент a_{i j} ).
Алгебраическим дополнением A_{i j} , элемента a_{i j} называется величина
A_{i j} = (-1)^i+j· M_{i j} .
Через A^v обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A ), элементами которой являются алгебраические дополнения A_{i j} :
A^v = (A_{i j} ); ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
Тогда обратная матрица A^-1 находится по формуле:

(4)

Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A^-1 имеет вид:
.
В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A – квадратная матрица с |A| ≠ 0.
Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A^-1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A^-1 = B · A^-1 равносильно уравнению

X · E = B · A-1 ­ ­ ­ ­ ­ или ­ ­ ­ ­ ­ X = B · A-1

(5)

Если в условии варианта дано уравнение ­ A · X = B, ­ то умножим обе части этого уравнения слева на матрицуA^-1, тогда уравнение ­ ­A^-1 · A · X = A^-1 · B ­ ­равносильно уравнению

E · X = A-1 · B ­ ­ ­ ­ ­ или ­ ­ ­ ­ ­ X = A-1 · B

(6)

Содержание типового расчета

Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X – искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A^-1 умножением A на A^-1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.