Алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Вычислите определитель матрицы А, проверьте условие: |A| 0.

2. Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы А и составьте матрицу алгебраических дополнений А*:

А* =

3. Составьте матрицу (А*)^т, транспонируя матрицу А*.

4. Найдите обратную матрицу по формуле:

Пример 1. Найдите матрицу, обратную матрице

Решение: 1. Находим определитель матрицы А:

|A| =

2.Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений А*: А*=

1. Транспонируем матрицу А*:
2. Составляем обратную матрицу по формуле:

Проверим, действительно ли матрица А^-1 является обратной к матрице А. Должно выполняться равенство: , где Е – единичная матрица.

.

Получили, что , следовательно, матрица А^-1 является обратной к матрице А.

Ответ: .

Пример 2. Найдите матрицу, обратную матрице А = .

Решение: 1. Находим определитель матрицы А.

|A|= ; 14 матрица существует.

2. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений А*: А*= .

3. Транспонируем матрицу А*: (А*)^Т= .

4.Составляем обратную матрицу по формуле:

.

Ответ:

Для нахождения ранга матрицы ее нужно привести к ступенчатому виду: под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижних строках:

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Ранг матрицы обозначается r(А).

Приведение матрицы к ступенчатому виду осуществляется с помощью элементарных преобразований:

· умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

· перестановка местами строк;

· вычеркивание нулевой строки;

· прибавление к элементам некоторой строки соответствующих эле­ментов другой строки, умноженных на любое действительное число.

Если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначаются А ~ В.

Для упрощения вычислений на первое место лучше ставить ту строку, в которой первый элемент равен 1.

Пример 3. Найдите ранг матрицы А= .

Решение: Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы первый элемент первой строки был равен 1:

Первую строку больше преобразовывать не будем.

Для того, чтобы первый элемент второй строки был равен нулю, прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Для того, чтобы первый элемент третьей строки был равен нулю, прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-5):

Для того, чтобы матрица имела ступенчатый вид, необходимо, чтобы второй элемент третьей строки был равен 0. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-2):

Вычеркнем нулевую строку. В результате элементарных преобразований получили матрицу:

Число ненулевых строк в полученной матрице равно двум, следовательно, ее ранг равен 2, т.е. r(А) = 2.

Ответ: r(А) = 2

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 2, §2.3, стр. 33 – 36.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §3, стр. 78 – 81.