Модели открытых систем массового обслуживания

ЧАСТЬ 2.

МОДЕЛИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Сводка формул

; ; ;

; ;

; ; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

;

; ;

; ;

; .

Модель М/М/m или многоканальное устройство

Предположим теперь, что изучаемая нами система массового обслуживания имеет m обслуживающих каналов с одинаковой интенсивностью обслуживания μ при общем простейшем входящем потоке заявок с интенсивностью λ. Такая система имеет условное обозначение М/М/m. Граф состояний этой системы подобен графу состояний одноканальной СМО (см. рис. 6).

Интенсивности перехода в соседнее правое состояние при этом определяются точно так же, как и у одноканальной СМО, интенсивностью входящего потока заявок λ – с приходом очередной заявки система приходит в следующее по порядку правое состояние. Иначе обстоит дело с интенсивностями у нижних стрелок. Пусть наша система находится в состоянии 1 – работает один канал, который обслуживает μ заявок в единицу времени, и тогда . Пусть теперь система находится в состоянии 2. Для перехода из этого состояния в состояние 1, очевидно, необходимо, чтобы закончили обслуживание и первый, и второй каналы (вместо этих заявок в систему поступает новая заявка из входящего потока). Это в свою очередь означает, что суммарная интенсивность обслуживания заявок этими двумя каналами составляет , и так далее: суммарный поток обслуживания каналами имеет интенсивность . При интенсивность обслуживания уже не меняется и сохраняется равной . Формулы (1.5.4) дадут в этом случае

; ; … ;

; ;

и так далее, так что в итоге получим

при ; при .

Условие нормировки даст нам тогда

,

откуда с учетом (П.3) имеем

или

, (2.2.1)

где – неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом , а при полагаем . Ясно, что при . Легко проверить, что при формула (2.2.1) переходит в соотношение (2.1.1) модели М/М/1. Очевидно также, что данная модель имеет стационарный режим для всех .

Итак, вероятности равновесных состояний системы найдены. Перейдем к вычислению числовых характеристик установившегося в системе стационарного режима.

Сводка формул

;

(неполная экспонента);

при ; при ;

;

; ; ;

; ; ; ;

; ;

; ;

;

; ;

;

;

;

;

;

; ;

; ;

;

;

.

Сводка формул

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ; .

Модель М/М/m/Е или модель с очередью

Конечной длины

Рассмотрим теперь многоканальную систему массового обслуживания, для которой фиксировано максимальное число требований, ожидающих обслуживания; в частности, предположим, что в очереди одновременно могут находиться не более Е заявок и что любое поступившее сверх этого числа требование получает отказ и немедленно покидает систему без обслуживания. Поступление новых требований происходит по закону Пуассона, времена их обслуживания распределены экспоненциально со средней интенсивностью обслуживания μ заявок в единицу времени, но при этом в систему допускаются только те требования, которые застают в ней строго меньше заявок, чем m+E. Ясно, что при Е=0 такая система массового обслуживания сводится к СМО с отказами (модель М/М/m/0, изученная в предыдущем разделе).

Граф состояний такой системы изображен на рис. 8. Отсюда в соответствии с результатами, полученными в § 2.2 для аналогичной системы (там Е=∞), мы сразу можем записать результат решения уравнений Колмогорова для вероятностей стационарных состояний:

при ;

при , (2.4.1)

и тогда

Отсюда в силу формулы (П.7) имеем

. (2.4.2)

Заметим также, что последнюю формулу для можно переписать в виде

,

что очевидно. При Е=0 формулы (2.4.1), (2.4.2) для и совпадают с полученными выше (§ 2.3), при Е→ ∞ и получаем аналогичные соотношения для модели M/M/m (§ 2.2), поскольку в этом

случае . Если же , то при Е→ ∞

lim ,

то есть с ростом E стремится к нулю.

Данная модель работает при всех значениях параметра накачки (заявок в систему) ρ. Случай , однако, должен быть разобран особо, поскольку в этом случае знаменатель в формуле (2.4.2) содержит неопределенность типа , раскрыв которую по правилу Лопиталя, имеем

. (2.4.3)

Заметим, что, как показывает практика, в действительности формула (2.4.3) начинает работать, то есть давать более точные значения , чем формула (2.4.2), не только тогда, когда строго выполняются условия равенства , но уже в некоторой окрестности значений параметра ρ вокруг точки . Для достаточно больших E и , очевидно,

.

Сводка формул

;

при ; при ;

;

;

; ;

; ;

;

; ; ; ;

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

; ;

;

;

;

;

.

При ρ = m

;

при ; при ;

; ;

; ;

; ; ;

; ; ; ;

; ;

;

;

; ;

;

; ;

;

;

;

; ;

;

; ;

.

Сводка формул

;

при ; при ;

.

При малых ;

;

;

;

; ; ; ;

; ;

; ;

;

;

;

;

; ; ;

;

;

;

;

;

;

;

; ;

.

Заметим, что формализацию этой модели можно осуществить и с использованием вырожденной гипергеометрической функции Куммера

,

то есть , поскольку . В этом случае, очевидно,

,

так что

;

.

Все же остальные формулы остаются без изменений.

Легко также видеть, что полученные выше формулы останутся справедливыми и для модели открытой системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания в системе при очевидной замене на , то есть на и на Первая из этих величин, очевидно, означает среднее число поступивших в систему заявок за среднее время, в течение которого заявка находится в обслуживающем приборе, а вторая – среднее число заявок, покинувших систему за то же самое время необслуженными.

ЧАСТЬ 2.

МОДЕЛИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ