Элементы корреляционного анализа

Понятие функциональной,

Статистической и корреляционной зависимости.

Две случайные величины элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, либо быть независимыми.

Зависимость величины элементы корреляционного анализа - student2.ru от элементы корреляционного анализа - student2.ru называется функциональной, если каждому значению величины элементы корреляционного анализа - student2.ru соответствует единственное значение элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Строгая функциональная зависимость в окружающем нас мире встречается редко, так как обе величины элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru , или одна из них , подвержены еще действию случайных факторов. Если среди этих факторов есть общие для обеих величин, то в этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

Если изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины, то такая зависимость является корреляционной.

Условным средним элементы корреляционного анализа - student2.ru называют среднее арифметическое значений элементы корреляционного анализа - student2.ru , соответствующих значению элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Например, пусть при элементы корреляционного анализа - student2.ru случайная величина элементы корреляционного анализа - student2.ru приняла значения элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru . Тогда условное среднее равно элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Если каждому значению элементы корреляционного анализа - student2.ru соответствует одно значение условной средней, то условная средняя есть функция от элементы корреляционного анализа - student2.ru . В этом случае говорят, что случайная величина элементы корреляционного анализа - student2.ru зависит от элементы корреляционного анализа - student2.ru корреляционно.

Корреляционной зависимостью элементы корреляционного анализа - student2.ru от элементы корреляционного анализа - student2.ru называют функцию элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Уравнение элементы корреляционного анализа - student2.ru называют уравнением регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru , а ее график – линией регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Аналогично определяется условная средняя элементы корреляционного анализа - student2.ru и корреляционная зависимость элементы корреляционного анализа - student2.ru от элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Условным средним элементы корреляционного анализа - student2.ru называется среднее арифметическое значений элементы корреляционного анализа - student2.ru , соответствующих элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Корреляционной зависимостью элементы корреляционного анализа - student2.ru от элементы корреляционного анализа - student2.ru называют функцию элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Уравнение элементы корреляционного анализа - student2.ru называют уравнением регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru , а ее график – линией регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Корреляционный анализ рассматривает две задачи.

Первая задача теории корреляции – установить форму корреляционной связи, то есть вид функции регрессии (линейная, квадратичная и так далее).

Вторая задача теории корреляции – оценить силу (тесноту) корреляционной связи. Теснота корреляционной связи (зависимости) элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru оценивается по величине рассеивания значений элементы корреляционного анализа - student2.ru вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости элементы корреляционного анализа - student2.ru от элементы корреляционного анализа - student2.ru , малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости.

Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии

По несгруппированным данным

Пусть имеются две случайные величины, и проводится их измерение.

В результате элементы корреляционного анализа - student2.ru независимых опытов получены, элементы корреляционного анализа - student2.ru пар чисел элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru в виде:

элементы корреляционного анализа - student2.ru

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента элементы корреляционного анализа - student2.ru обозначим через элементы корреляционного анализа - student2.ru , а оценку элементы корреляционного анализа - student2.ru — через элементы корреляционного анализа - student2.ru , то есть элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Параметры элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru находим методом наименьших квадратов по формулам:

элементы корреляционного анализа - student2.ru ,

элементы корреляционного анализа - student2.ru

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru :

элементы корреляционного анализа - student2.ru ,

где

элементы корреляционного анализа - student2.ru ,

элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Для оценки связи (тесноты) между случайными величина­ми обычно используется выборочная ковариация и выборочный коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация (эмпирический корреляционный момент) записывается в виде:

элементы корреляционного анализа - student2.ru ,

а выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

элементы корреляционного анализа - student2.ru или элементы корреляционного анализа - student2.ru ,

где элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Абсолютная величина (модуль) выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы, то есть элементы корреляционного анализа - student2.ru или элементы корреляционного анализа - student2.ru . С возрастанием элементы корреляционного анализа - student2.ru линейная корреляционная зависимость становится более тесной, и при элементы корреляционного анализа - student2.ru переходит в функциональную. Если элементы корреляционного анализа - student2.ru , то корреляционная связь испытаний элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru отсутствует.

Пример 11. В результате независимых испытаний получены пары значений случайных величин элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru :

элементы корреляционного анализа - student2.ru
элементы корреляционного анализа - student2.ru

В таблице значения элементы корреляционного анализа - student2.ru расставлены в возрастающем порядке.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции. Построить прямые регрессии элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru .

¦ Составим таблицу подсчетов ( табл.16 ).

Таблица 16

Номер опыта элементы корреляционного анализа - student2.ru элементы корреляционного анализа - student2.ru элементы корреляционного анализа - student2.ru элементы корреляционного анализа - student2.ru элементы корреляционного анализа - student2.ru элементы корреляционного анализа - student2.ru
элементы корреляционного анализа - student2.ru

1) Находим элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru .

2) элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru .

элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru .

3) Вычислим эмпирический корреляционный момент:

элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Тогда коэффициент корреляции: элементы корреляционного анализа - student2.ru .

Значение элементы корреляционного анализа - student2.ru довольно близко к 1, следовательно, связь между случайными величинами элементы корреляционного анализа - student2.ru и элементы корреляционного анализа - student2.ru довольно тесная.

4) Найдем уравнения линий регрессии

элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru : элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru на элементы корреляционного анализа - student2.ru : элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru

5) Построим линии регрессии ( Рис.6) . Для этого найдем точки пересечения линий с осями координат:

элементы корреляционного анализа - student2.ru : элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru ;

элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru

элементы корреляционного анализа - student2.ru : элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru ;

элементы корреляционного анализа - student2.ru , элементы корреляционного анализа - student2.ru .

элементы корреляционного анализа - student2.ru

Рис.6 ?

Наши рекомендации