Тема 21 Решение текстовых задач

Теория

Практика

Задачи на движение. При решении задач на движение используется одна из трех формул: , , . Необходимо помнить, что величины должны быть в одной системе единиц, что большую помощь может оказать рисунок, график, таблица. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что , где: – скорость по течению реки; – скорость объекта при движении против течения реки; – собственная скорость движущегося объекта; – скорость течения реки. Решать их желательно, используя схемы или таблицы. Задачи на бассейны и трубы. Такие задачи фактически являются задачами на движение. Работа или объем бассейна есть, условно говоря, путь, пройденный точкой; производительность, с которой выполняется работа или наполняется бассейн есть скорость. Решение сложных задачцелесообразно начать с повторения алгоритмарешения системы уравнений с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие величины; -Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходимости; -Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи; -Оформить ответ. Полезно вспомнить: Задачи на проценты. Основным понятием является часть числа, если задана величина , то ее -я часть равна , и определение : Процентом называется одна сотая часть величины , то есть 1% = 1/100 от целого. Значит, целое составляет 100%. Например: ; Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%

1. Из сосуда, доверху наполненного 88%-м раствором кислоты, отлили 2,5 литра жидкости и долили 2,5 литра 60%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-й раствор кислоты. Найдите вместимость сосуда в литрах. Решение. Пусть х (литров) – вместимость сосуда. 1) Т.к. сосуд был доверху наполнен 88%-м раствором кислоты, то кислоты в нем было 0,88х литров, а воды – 0,12х. 2) В 2,5 литрах жидкости содержится литра кислоты и 0,3 литра воды. 3) В 2,5 литрах 60%-го раствора этой же кислоты будет литра кислоты и 1 литр воды. 4)Когда из первоначального сосуда отлили 2,5 л жидкости и долили 2,5 литров 60% раствора кислоты, то получилось литров кислоты и воды. 5) Т.к. в результате получается 80%-й раствор кислоты, то в нем будет 80% кислоты и 20% воды, т.е. выполняется условие . Решая это уравнение, получим литров – вместимость сосуда. Ответ: 8,75. 2. Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поезда одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в А. Они встречаются в пункте С. Первый поезд прибывает в город В через 4 часа после встречи со вторым поездом, в второй прибывает в город А через 16 часов после встречи с первым поездом. Определите расстояние АС. Решение. Расстояние от А до С в 2 раза больше расстояния от С до В. Добавим участок от А до Д, тогда tАД=4 (часа). АВ поделим на 3 равных участка. 900:3=300 км, т.е. AД=ДC=CB=300км. Итак, АС=AД+ДC=600 км. Ответ: 600. 3.Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором — 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? Решение. Пусть х — масса первого сплава, y — масса второго сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,3х, а во втором — 0,55у. Масса нового сплава равна , а количество золота в нем составляет . Получим уравнение . Преобразуем уравнение, получим: , , . Отсюда: . Ответ: в отношении 3:2. Ответ может быть дан и в другом виде, например . 4. И пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки? Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна км/ч, а по течению км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению - в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл км, то катер — в 3 раза больше, т.е. км. После встречи катер пройдет км, а плот - 5 раз меньше, т.е. км. Всего плот пройдет . Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно . Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна км/ч, а по течению км/ч. Скорость сближения катера и плота равна км/ч. Встреча произошла через ч. За это время плот проплыл км, а катер - км. Обратный путь катер пройдет за ч. Плот за это время проплывет расстояние равное км, а всего он проплывет км. Ответ: плот пройдет всего пути.

Модель 1 Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Ход решения верный, все его шаги выполнены, получен верный ответ.
	Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна ошибка – в преобразованиях или в вычислениях, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены правильно.
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
Модель 2 Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.
	Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вычислительная ошибка или описка.
	Найдены части пути, которые проплывет плот до и после встречи, но решение не доведено до конца и не найдена часть всего пути от А до В, пройденная плотом.
	Найдены части пути, которые проплывет плот до и после встречи, но решение не доведено до конца и допущена одна арифметическая ошибка.
	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Реши сам:

1. Из пункта А в пункт В, расположенный выше по течению реки, вышла моторная лодка, собственная скорость которой в 5 раз больше скорости течения. Одновременно навстречу ей из пункта В отправился плот. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению реки. Какую часть пути от В до А пройдет плот к моменту возвращения лодки в пункт А?

2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышла лодка, собственная скорость которой в 2 раза больше скорости течения. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению. Какую часть пути от А до В останется пройти плоту к моменту возвращения лодки в пункт В?

3. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком соотношении были взяты первый и второй растворы?

4 Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй — 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

5. На пост мэра города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова — в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?

6. Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. На какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

7. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани до другой и через 2,5 ч вернулась обратно, затратив на стоянку 15 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.

8. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани до другой и через 4 ч вернулась назад, затратив на стоянку 24 мин. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

9. Лодка может проплыть 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч,

10. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое плот может проплыть по этой реке 9 км. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.

11. Клиент внес 3000 р. на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой — 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?

Вернуться в содержание