Статистические критерии оптимального приема

Основы теории

Помехоустойчивости

Дискретных сигналов

Новосибирск 1997

УДК 621.391

к.т.н., доцент А.А. Макаров, к.т.н., доцент Л.А. Чиненков

В учебном пособии рассмотрены основы теории помехоустойчивости дискретных сигналов , критерии оптимального приема, потенциальная помехоустойчивость сигналов с амплитудной, частотной и фазовой модуляцией при флюктуационных помехах, приведены структурные схемы оптимальных и не оптимальных приемников, включая приемники для относительной фазовой модуляции , рассмотрена их помехоустойчивость при оптимальной и не оптимальной фильтрации , в том числе для сигналов с замираниями.

Кафедра Радиотехнических систем

Ил., табл., список лит. - 4 назв.

Рецензенты: С.М. Чепурной, Л.В. Бурый

Для специальностей 200700,200800,200900, 201000, 201100.

Утверждено редакционно-издательским cоветом СибГАТИ

в качестве учебного пособия.

ã Сибирская государственная

академия телекоммуникаций

и информатики, 1997 г.

Содержание

1. Задачи приемного устройства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Статистические критерии оптимального приема дискретных

сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Отношение правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Оптимальный приемник полностью известных сигналов . . . . . . 14

5. Оптимальный приемник полностью известных сигналов

с пассивной паузой .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6. Оптимальный приемник полностью известных сигналов

с активной паузой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7. Вероятность ошибки в оптимальном приемнике . . . . . . . . . . . . 20

8. Потенциальная помехоустойчивость различных видов

дискретной модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9. Оптимальная фильтрация дискретных сигналов . . . . . . . . . . . . 24

10. Прием дискретных сигналов с неизвестной фазой . . . . . . . . . . . 30

11. Прием сигналов ОФМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

12. Прием дискретных сигналов со случайной амплитудой . . . . . . 37

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Задачи приемного устройства

На вход приемного устройства (приемника) любой системы связи обычно поступает смесь переданного сигнала S(t) и помехи n(t)

x(t) = S(t) + n(t), (1.1)

причем сигнал S(t) представляет собой, как правило, сложное колебание, содержащее, кроме времени t , множество параметров (амплитуду, фазу, частоту и пр.) S(t) = f(a, b, c, ... t).

Один или группа этих параметров используется для передачи информации, а задачей приемника является определение (измерение) этих параметров в условиях мешающего действия помех.

Если для решения своей задачи приемник использует все параметры сигнала, не несущие информацию, то он называется приемником полностью известного сигнала.

Если эта задача решается наилучшим образом, по сравнению с другими приемниками, то такой приемник называется оптимальным или приемником, реализующим потенциальную помехоустойчивость("идеальный" приемник).

Потенциальная помехоустойчивость впервые была определена в 1946г. выдающимся советским ученым В.А.Котельниковым в условиях гауссовских помех. Согласно теории потенциальной помехоустойчивости любая система передачи информации с заданным ансамблем сигналов в условиях конкретных помех имеет предельную помехоустойчивость, которая не может быть улучшена путем совершенствования приемника и поэтому называется потенциальной помехоустойчивостью.

Если для определения информационного параметра используются не все параметры сигнала ,не несущие информацию, то это приемник неполностью известного сигнала. Такой приемник также может быть оптимальным (лучшим среди этого класса приемников), но его помехоустойчивость всегда ниже потенциальной.

В зависимости от назначения системы связи задачи приемника классифицируются следующим образом.

1. Обнаружение сигнала. При этом приемник решает, есть на его входе сигнал (вместе с помехой), или же на его входе имеется только одна помеха. Сам сигнал заранее известен.

На рис. 1.1 в некотором пространстве (система координат 1, 2) изображен вектор сигнала S, на который накладываются векторы помех с различными фазами и амплитудами (в любой момент времени к вектору сигнала добавляется один из векторов помех; на рисунке изображено несколько векторов помех, чтобы показать, что вектор помехи может иметь любую фазу и величину). Если сигнал S на входе приемника отсутствует, векторы помех исходят из начала координат (точка 0).

Для решения вопроса о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника, все пространство разбивается на два подпространства: подпространство сигнала и подпространство помех. В зависимости от того, в какое подпространство попадает конец результирующего вектора, приемник выполнит решение о наличии или отсутствии сигнала на его входе. Граница подпространств(на рис.1.1 и 1.2 показана пунктиром) зависит от критерия верности, используемого при приеме. Если под действием помехи конец суммарного вектора попадает в подпространство помех, имеет место пропуск сигнала; если, наоборот, конец вектора помехи без сигнала попадает в подпространство сигнала, имеет место ложная тревога.

2. Различение двух сигналов (или m сигналов). Приемник решает, какой из сигналов (S₁или S₂ ) имеется на его входе ; на рис.1.2 показаны два вектора сигналов вместе с помехами. Все пространство сигналов и помех разбивается на подпространства по числу сигналов( в данном случае на два подпространства); приемник принимает решение в пользу того сигнала, в подпространстве которого находится конец вектора суммы сигнала и помехи. Если под действием помехи конец суммарного вектора попадет в чужое подпространство, произойдет ошибка.

Следует иметь в виду, что, когда приемник предназначен для приема дискретных сигналов (обнаружение сигналов, различение сигналов), то, как правило, форма выходных сигналов не совпадает с формой сигналов на его входе. Например, если приемник осуществляет различение сигналов S₁(t) = A×cosw₁t и S₂(t) = A×cosw₂t (дискретная частотная модуляция), то при приеме сигнала S₁(t) на выходе приемника будет импульс напряжения положительной полярности, а при приеме сигнала S₂(t) - импульс отрицательной полярности (или 0, в зависимости от конкретной реализации схемы приемника).

3. Оценка параметров сигнала - например, его амплитуды или величины запаздывания, применяется в телеметрических системах ,в радиолокации; при этом скорость изменения измеряемого параметра сигнала значительно меньше скорости измерения (значение параметра не изменяется в процессе измерения).

4. Восстановление формы передаваемого сигнала осуществляется при приеме аналоговых сигналов (фильтрация) и отличается от оценки параметра тем, что измеряемый параметр непрерывно меняется в процессе измерения.

Таким образом, приемник представляет собой решающее устройство (рис.1.3), которое в соответствии с некоторым правилом Ф(х), ( правило решения), определяет значение информационного параметра (принимает решение о значении выходного сигнала y(t), используя входной сигнал x(t)).

Дискретных сигналов

Количественно помехоустойчивость определяется некоторой мерой соответствия принятого сообщения (сигнала) переданному. Эта мера (мера качества решения) из-за случайного характера помех всегда является статистической и определяется потребителем сообщения (степенью чувствительности потребителя к тем или иным искажениям ).

Оптимальный приемник (оптимальное правило решения) обеспечивает наилучшее качество решения, то есть обеспечивает минимум искажений переданного сообщения в соответствии с мерой качества, заданной потребителем. Оптимальное значение меры качества, которое достигается приемником в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности приема (или просто критерием качества).

При приеме дискретных сигналов в качестве меры помехоустойчивости обычно используется средний риск R_ср, тогда критерием оптимальности является min {R_ср};

R_ср = П_ij P (S_i , y_j), (2.1)

где P (S_i , y_j) - совмеcтная вероятность передачи S _i и приема y_j ;

П_ij - функция потерь (риск потребителя) при приеме y_j , когда передавался сигнал S_i ; при этом i = j соответствует правильному приему

(значения П_ij =0), i ¹ j - ошибка (значения П_ij > 0) ;

m - число передаваемых сигналов.

Приемник , работающий по этому критерию, называется байесовским, а

правило решения - байесовским правилом.

Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые критерии при передаче двух сигналов S₁(t) и S₂(t), так как в технике связи такая задача встречается наиболее часто.

При различении сигналов обязательно возникают ошибки при любой мощности сигнала и помехи, так как из-за случайного характера помех возможны выбросы помехи значительной величины. На рис.2.1 приведен граф переходов в системе связи, когда передаются сигналы S₁(t) и S₂(t). Если передавался сигнал S₁ , а принят y₁ - это означает, что первый сигнал принят правильно. Если же передавался сигнал S₁ , а принят у₂ - это означает, что при приеме вместо первого сигнала получен второй сигнал - произошла ошибка.

Условные вероятности Р(у₁/S₁) и Р(у₂/S₂) есть вероятности правильного приема этих сигналов.

Существует несколько критериев помехоустойчивости при различении сигналов. Эти критерии фактически отличаются правилом решения, которые определяют положение границы подпространств (пунктир на рис.1.2), исходя из конкретных требований потребителя к качеству приема сигналов различного назначения.

1. Критерий минимального среднего риска.

Согласно (2.1) этот критерий для двух сигналов минимизирует средний риск

R_ср = {П₁₂Р(S₁,y₂) + П₂₁Р(S₂,y₁) =

= П₁₂Р(S₁)Р(y₂/S₁) + П₂₁Р(S₂)Р(y₁/S₂) . (2.2)

В зависимости от значения функции потерь (в данном случае весовых коэффициентов П₁₂ и П₂₁) этот критерий может применяться в системах связи различного назначения с учетом тех потерь (или убытков), которые являются следствием искажения сигналов S₁ и S₂.

Например, если сигнал S₁ - отсутствие тревоги, а S₂ - сигнал тревоги (пожарная или охранная сигнализация), то Р(у₂/S₁) - это вероятность ложной тревоги, а Р(у₁/S₂) - вероятность пропуска сигнала тревоги. Если это система противопожарной сигнализации, то в результате ложной тревоги убытки составляют, например, 10 рублей (затраты на ложный выезд), а в результате пропуска тревоги (в результате чего может сгореть важный объект) убытки составляют миллион рублей. В этом случае весовые коэффициенты могут быть соответственно равны П₁₂ =10, П₂₁ = 10⁶. Приемник должен принимать решение таким образом, чтобы получить min{R_ср}. Очевидно, для этой цели границу подпространств (рис.1.2) целесообразно удалить от сигнала тревоги S₂ за счет увеличения вероятности искажения сигнала S₁, при этом уменьшится вероятность пропуска сигнала тревоги; в результате критерий min{R_ср} обеспечит минимальные убытки системы противопожарной безопасности.

2. Критерий максимального правдоподобия (критерий МП).

Критерий МП получается из критерия минимального среднего риска, если принять, что П₁₂ = 1/P(S₁), П₂₁ = 1/P(S₂).

При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, что минимизируется значение

l _п = P(y₂/S₁) + P(y₁/S₂) . (2.3)

Критерий МП иногда называется критерием минимума потерь информации, так как оптимальное правило решения в этом случае устанавливает границу подпространства (рис.1.2) так, чтобы уменьшить вероятность искажения того сигнала, вероятность передачи которого меньше (следовательно, этот сигнал содержит больше информации).

Критерий МП применяется в системах связи также в тех случаях, когда априорные вероятности Р(S₁) и P(S₂) неизвестны.

3. Критерий идеального наблюдателя.

Если весовые коэффициенты П₁₂ = П₂₁ =1, то критерий минимального среднего риска минимизирует среднюю вероятность ошибки

p_ош = P(S₁)P(y₂/S₁) + P(S₂)P(y₁/S₂) (2.4)

и называется критерием идеального наблюдателя.

Критерий идеального наблюдателя широко применяется в системах связи, когда искажения любого сигнала одинаково нежелательны и совпадает с критерием МП, если вероятности Р(S₁) = P(S₂) = 0,5.

4. Критерий Неймана-Пирсона.

В некоторых системах передачи информации (системах радиолокации, некоторых системах сигнализации) имеется необходимость фиксирования (задания) одной из условных вероятностей Р(у₁/S₂) или Р(у₂/S₁). При этом оптимальный приемник принимает решение таким образом, чтобы минимизировать ту условную вероятность, которая не задана. Критерий оптимальности, который используется таким приемником называется критерием Неймана-Пирсона.

Например, задана вероятность пропуска сигнала S₁ , то есть Р(у₂/S₁) = a.. Тогда критерий Неймана-Пирсона требует минимизации условной вероятности Р(у₁/S₂), обеспечивая заданное значение a. Вероятность Р(у₁/S₂) обычно обозначается b, тогда (1-b) = Р(у₂/S₂) называется качеством решения. Правило решения Неймана-Пирсона обеспечивает (min b) или мах(1- b) при a = const.

Приемник при использовании критерия Неймана-Пирсона строится таким образом, чтобы получить достаточно малую вероятность пропуска cигнала(цели ) Р(у₂/S₁)=a.. С тем, что при этом может (несмотря на минимизацию b=Р(у₁/S₂)) оказаться много ложных тревог, приходится мириться. В этом и заключается сущность данного критерия.

Отношение правдоподобия

Различение сигналов в приемном устройстве обычно осуществляют путем установления некоторого "порога" на выходе приемника, фактически играющего роль "границы подпространств" сигналов S₁ и S₂ .

На рис. 3.1. приведен некоторый дискретный сигнал х(t) (импульсы постоянного тока), на который накладывается флюктуационная помеха и проведена пунктирная линия, соответствующая выбранному порогу х_п.

Если величина x(t) < x_п , приемник выдает сигнал S₁, если же x(t) > x_п , приемник выдает сигнал S₂. Как видно из рисунка, на отрезке времени t₁, t₂ под действием сильной помехи величина х > x_п , т. е. в этом случае приемник может выдать сигнал S₂ , хотя передавался S₁.

Различные критерии приема дискретных сигналов фактически отличаются способом установления величины порога. Данная задача проще всего решается с помощью "отношения правдоподобия". Для рассмотрения этого вопроса обратимся к рис. 3. 2.

Если бы на входе приемника отсутствовали помехи, мы имели бы дело с "чистыми" сигналами S₁ и S₂ и задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех сигналы искажаются и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сами сигналы вместе с помехами описываются уже функциями плотности вероятности w(x/S₁) и w(x/S₂), которые изображены на рис. 3.2. (эти функции умножены также на весовые коэффициенты П₁₂Р(S₁) и П₂₁Р(S₂)). На этом же рисунке показан порог х_п.

Заштрихованная часть рисунка левее х_п имеет площадь, равную

П₂₁Р(S₂)w(x/S₂)dx = П₂₁Р(S₂)P(x/S₂), (3.1)

а заштрихованная часть правее х_п имеет площадь, равную

П₁₂Р(S₁)w(x/S₁)dx = П₁₂Р(S₁)P(x/S₁), (3.2)

Сумма этих величин, в соответствии с формулой (2.1), есть средний риск R_ср. Из рис. 3.2. видно, что R_ср будет минимальным, когда минимальна суммарная площадь под кривыми. Это будет в том случае, если величина х_п соответствует точке пересечения кривых на рис. 3.2. Следовательно, условием получения min{R_ср} является такой порог х_п, при котором наступает равенство ординат приведенных кривых, т. е.

П₁₂Р(S₁)w(x/S₁)dx = П₂₁Р(S₂)w(x/S₂), (3.3)

откуда получаем следующее соотношение:

. (3.4)

Стоящее слева выражение называется отношением правдоподобия

l(х) = , (3.5)

а w(x/S _i), которая представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал х образовался при передаче сигнала S_i , обычно называется функцией правдоподобия (функцией правдоподобия является также любая монотонная функция от w(x/S_i), например log[ w(x/S_i)]).

Чем больше значение w(x/S _i), тем более вероятно, что х содержит сигнал S_i (это очевидно из рис. 3.2). Справа стоящее выражение называется пороговым отношением правдоподобия

l₀ = . (3.6)

Приемник, использующий отношение правдоподобия, работает следующим образом.

1. Анализируя поступающий на его вход сигнал, вычисляет отношение правдоподобия l(х).

2. По известным значениям априорных вероятностей Р(S₁) и P(S₂), а также заданным весовым коэффициентом П₂₁ и П₁₂, вычисляется пороговое отношение правдоподобия l₀.

3. Величина l(х) сравнивается с l₀,

если l(х) > l₀, приемник выдает сигнал S₁,

в противном случае сигнал S₂ . (3.7)

Выражение (3.7) является правилом решения Ф(х) решающего устройства, показанного на рис.1.3.

Правило решения (3.7) является общим для двоичных систем связи, использующих любой критерий оптимального приема ; отличие только в значении порога l₀ .

Если приемник работает по критерию минимального среднего риска, величина l₀ определяется формулой (3.6).

Для критерия идеального наблюдателя, в этой формуле коэффициенты

П₁₂ = П₂₁ = 1 и тогда l₀ = P(S₂)/ P(S₁) , (3.8)

Для критерия максимального правдоподобия

П₁₂ = 1/ P(S₁) , П₂₁ = 1/ Р(S₂), тогда l₀ =1. (3.9)

Если приемник использует критерий Неймана-Пирсона, то отношение правдоподобия l(х) становится случайной величиной, так как в равенстве (3.1) Р(у₁/S₂) = a (задается потребителем). Пороговое отношение правдоподобия определяется как верхний предел интеграла

(3.10)

где w(l) - плотность распределения отношения правдоподобия l(х).

Правило принятия решения приемником с использованием отношения правдоподобия рассмотрим на следующих примерах.

Условия задачи.

Пусть на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала (дискретная амплитудная модуляция) и помехи:

, где i=1,2;

n(t) - флюктуационная помеха типа гауссовского шума с дисперсией .

На протяжении длительности одной элементарной посылки в решающей схеме приемника в синхронные моменты времени t₁ и t₂ произведено два отсчета(замера) сигнала x(t), причем Dt = t₂-t₁ больше интервала корреляции помехи n(t). Измеренные значения x(t₁)= x₁= 0,2 B; x(t₂)= x₂= 0,3 B. Амплитуда сигнала A=0,4 B.

Определить отношение правдоподобия и принять решение по критерию идеального наблюдателя, какой из двух сигналов (S₁ или S₂) поступил на вход приемника для двух случаев:

а) ;

б) ; .

Решение задачи(когерентный прием).

1. Найдем отношение правдоподобия .

Плотность вероятности сигнала x(t)=S₁(t)+n(t) имеет вид

.

Так как на протяжении элементарного сигнала производятся два отсчета, то для нахождения отношения правдоподобия требуется найти двухмерную плотность вероятностей w₂(x₁x₂/s₁). Учитывая, что отсчеты некоррелированы (Dt больше интервала корреляции), а помеха распределена по гауссовскому закону, эти отсчеты можно считать независимыми. В этом случае двухмерная плотность вероятностей равна произведению одномерных плотностей

.

Аналогично

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя численные значения A,s_n, x₁, x₂, получим: l (0,2;0,3)= 2,7.

2.Применяем правило решения (3.7 ).

а) Пороговое отношение правдоподобия при P(s₁)=P(s₂)=0,5

.

В нашем случае l(x₁x₂)=2,7 > l₀=1 и приемник выдает сигнал S₁.

б) Пороговое отношение правдоподобия при P(s₁)=0,2 и P(s₂)=0,8

.

В этом случае l(x₁x₂)=2,7 < l₀=4 и приемник выдает сигнал S₂.

Полученные результаты вполне объяснимы: в случае a) измеренное значение x(t₁)=0,2B соответствует половине амплитуды А=0,4В, а измеренное значение x(t₂)=0,3B ближе к сигналу S₁, поэтому при равной вероятности сигналов приемник выдает решение в пользу сигнала S₁; в случае б) измеренные значения сигнала ближе к S₁, но зато сигнал S₂(t) встречается в 4 раза чаще, чем сигнал S₁(t), и точное решение задачи с учетом всех обстоятельств во втором случае получается в пользу сигнала S₂.

Решение задачи(некогерентный прием).

Решим эту же задачу в предположении, что в приемнике используется обычный амплитудный детектор .

Найдем отношение правдоподобия для этого случая. Плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S₁(t) определяется обобщенным законом Релея

,

а плотность вероятности x(t) при передаче сигнала S₂(t) определяется простым законом Релея

.

Как и в предыдущем примере, отношение правдоподобия будет определяться отношением двухмерных плотностей вероятности. После простых преобразований получаем

.

Подставляя сюда численные значения А, s_n, x₁, x₂, получим

.

Как и в предыдущем примере, а) l₀=1 и б) l₀=4.

В обоих случаях l(x₁x₂)<l₀ и в обоих случаях приемник выдает решение в пользу сигнала S₂(t).

Сравнивая случаи принятия решения решающей схемой приемника при когерентном и некогерентном приеме, невольно возникает вопрос: почему получаются разные результаты в случае а).

Дело в том, что при когерентном приеме сигналы x(t) распределены по гауссовскому закону и оптимальный порог x_o, определяемый точкой пересечения функций P(S₁)×w(x/s₁) и P(S₂)×w(x/s₂) (рис. 3.3), в этом случае (когда P(S₁) =P(S₂) и l₀=1) соответствует половине амплитуды сигнала S₁(t); измеренные же значения сигнала x(t) близки к пороговому значению и ближе к сигналу S₁(t). Однако при некогерентном приеме сигналы x(t) распределены по законам Релея и оптимальный порог x_o значительно выше, чем половина амплитуды сигнала S₁(t) (рис. 3.4). Поэтому те же измеренные значения x(t₁) и x(t₂) оказываются дальше от порога в области сигнала S₂(t) и решающая схема приемника при заданных в условиях задачи вероятностях сигналов S₁(t) и S₂(t) выдает решение в пользу сигнала S₂(t).

Учитывая, что при когерентном приеме уровень помех на входе решающей схемы существенно ниже, чем при некогерентном, более вероятно, что ошибочное решение принял некогерентный приемник.

Видов дискретной модуляции

1. Дискретная амплитудная модуляция.

S₁(t) = A cos w₀t , S₂(t) = 0 , 0 < t < T;

E_э = S²₁(t)dt = E₁ (E_э равна энергии первого сигнала);

Подставив эту величину в формулу (7.6), получим

(8.1)

2. Дискретная частотная модуляция.

S₁(t) = A cos w₁t ; S₂(t) = A cos w₂t , 0 < t < T.

E_э = [S₁(t) - S₂(t)]²dt = S²₁(t)dt + 2 S₁(t)S₂(t)dt + S²₂(t)dt =

= E₁ + 2TB_S1S2(0) + E₂.

При частотной модуляции сигналы S₁(t) и S₂(t) являются взаимоортогональными, поэтому их функция взаимной корреляции равна нулю. Кроме того, благодаря равной амплитуде сигналов S₁(t) и S₂(t) E₁=E₂. В результате E_э = 2E₁ , а

Подставив эту величину в формулу (7.6), получим

(8.2)

3. Дискретная фазовая модуляция

S₁(t) = A cos w₀t, S₂(t) = - A cos w₀t = - S₁(t) , 0 < t < T;

[ E_э =2S₁(t)]²dt = 4E₁,

Подставив эту величину в формулу (7.6), получим

(8.3)

Сравнивая между собой формулы (8.1), (8.2), (8.3), видим, что для достижения заданной вероятности ошибки при ДЧМ требуется величина h₀ в больше, чем при ДФМ, а при ДАМ - в 2 раза больше, чем при ФМ. Отсюда видно, что переход от ДАМ к ДЧМ дает двухкратный выигрыш по мощности, а к ДФМ - четырехкратный выигрыш. Причину этого можно наглядно установить, рассматривая векторные диаграммы сигналов для разных видов модуляции.

Из рис. 8.1 видно, что при ДАМ расстояние между векторами сигналов S₁ и S₂ равно длине вектора S₁, при ДЧМ (взаимоортогональные сигналы) это расстояние равно S₁ , при ДФМ (противоположные сигналы) это расстояние равно 2S₁. Энергия же пропорциональна квадрату разности сигналов.

Следует заметить, что приведенные здесь данные об энергетике сигналов ДАМ, ДЧМ и ДФМ относились к максимальным (пиковым) мощностям этих сигналов. В этом смысле, например, при переходе от ДЧМ к ДАМ мы имеем двухкратный выигрыш в пиковой мощности.

Однако, сигналы ДАМ имеют пассивную паузу (мощность сигнала в паузе равна нулю), поэтому по потребляемой передатчиком мощности, кроме отмеченного ранее проигрыша, имеется еще и двухкратный выигрыш. С учетом этого обстоятельства, при переходе от ДЧМ к ДАМ двухкратный проигрыш по пиковой мощности компенсируется двухкратным выигрышем за счет пассивной паузы сигналов ДАМ, в результате чего по потребляемой мощности эти сигналы оказываются равноценными. Однако следует помнить, что при ДАМ в приемнике Котельникова трудно установить необходимый порог в сравнивающем устройстве, а в приемнике ДЧМ регулировка порога не требуется. Поэтому частотная модуляция применяется чаще, чем амплитудная.

Отметим еще раз, что приемник Котельникова обеспечивает наибольшую предельно-допустимую (потенциальную) помехоустойчивость. Это достигается благодаря тому, что при приеме учитываются все параметры сигнала, не несущие информации: амплитуда, частота, фаза несущего колебания, а также длительность сигнала Т, так как интегрирование (фильтрация) осуществляется в течение этого времени. Решение о принятом сигнале обычно осуществляется в конце каждого интервала Т, для чего в приемнике должна иметься специальная система синхронизации элементов сигнала.

9.Оптимальная фильтрация дискретных сигналов

Оптимальный приемник (рис.6.1) является корреляционным, сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляции принимаемого сигнала x(t) и ожидаемого S_i(t), благодаря чему обеспечивается максимально - возможное отношение сигнал/шум h²₀..

Поскольку операция определения функции корреляции является линейной, ее можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого (комплексная передаточная характеристика K(jw) и импульсная характеристика g(t) являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получается максимальным, причем h²_max = h²₀.

Найдем характеристики фильтра, когда помеха n(t) является флюктуационной со спектральной плотностью G_n(w) = N₀,, w ³ 0.

Пусть сигнал на входе фильтра имеет комплексный спектр S(jw). Тогда сигнал на выходе фильтра y(t) можно определить с помощью преобразования Фурье

Нас интересуют значение y(t) в момент принятия решения (момент отсчета t₀), поэтому, заменив t на t₀, получим

(9.1)

Чтобы получить максимальную величину y(t₀), нужно найти оптимальную характеристику фильтра k(jw). Для этой цели можно воспользоваться известным неравенством Шварца-Буняковского, имеющим вид

Легко проверить, что данное неравенство превращается в равенство при условии,что

где a - любая произвольная постоянная. В нашем случае, применительно к формуле (9.1), величина y(t₀) будет максимальной при условии

(9.2)

(это уже есть условие оптимальности характеристики K(jw), поэтому здесь и в дальнейшем K(jw) заменено на K_opt(jw) ).

Подставляя в левую часть формулы (9.2)

(9.3)

(9.4)

получаем

или, сокращая на S(w), будем иметь

. (9.5)

Последнюю формулу можно представить в виде двух составляющих, позволяющих найти амплитудно-частотную характеристику оптимального фильтра K_opt(w) и фазо-частотную характеристику j_k(w):

; (9.6)

(9.7)

откуда (9.8)

Здесь j_s(w) - фазо-частотный спектр входного сигнала; wt₀ - "запаздывающий" множитель, учитывающий то, что "отсчет" величины сигнала на выходе фильтра производится в момент t₀ , когда возникает максимум выходного сигнала фильтра.

Условие (9.6) имеет простой физический смысл: фильтр должен лучше пропускать составляющие спектра сигнала, имеющие большую амплитуду и в меньшей степени пропускать составляющие сигнала, имеющие меньшую амплитуду.

Условие (9.7) имеет также простой физический смысл: в момент отсчета (t₀) все частотные составляющие спектра выходного сигнала имеют нулевую фазу, благодаря чему выходное напряжение в момент t₀ имеет наибольшее отношение мощности сигнала к мощности помехи .

Условия (9.6) и (9.8) можно объединить в одно, представив передаточную характеристику в комплексной форме

(9.9)

Можно, наконец, последнюю формулу представить в следующем виде

(9.10)

Здесь S^*(jw) - комплексно-сопряженный спектр по отношению к S(jw).

Отношение сигнал/помеха определяется , как обычно, формулой

(9.11)

где - мощность сигнала на выходе фильтра в момент t₀ ;

(9.12)

мощность (дисперсия) помехи на выходе фильтра,

Df_opt - эффективная полоса пропускания оптимального фильтра.

Подставляя в (9.11) выражения (9.1) и (9.12) с учетом (9.2), получим

(9.13)

где энергия сигнала S(t) на входе фильтра.

Из (9.13) видно, что отношение h²(t₀) численно равно отношению энергии сигнала к спектральной плотности помехи (как в приемнике Котельникова) и не зависит от формы сигнала. А так как энергия сигнала равна произведению мощности сигнала на его длительность, то для повышения помехоустойчивости систем связи с использованием согласованных фильтров можно увеличивать длительность элементарных сигналов, что и делается в широкополосных системах связи.

При применении в демодуляторе приемника согласованных фильтров в сочетании с когерентным способом приема можно добиться потенциальной помехоустойчивости.

Импульсная характеристика оптимального фильтра (отклик фильтра на дельта-функцию) определяется известным выражением

Подставив сюда значение K_opt(jw) из (9.10), получим

Интегрирование в последней формуле производится по всем частотам от -¥ до +¥; поэтому знак перед w в этой формуле можно заменить на противоположный, что не приведет к изменению результата вычисления интеграла. В результате получим

(9.14)

А так как, на основании преобразования Фурье

(9.15)

то, сравнивая (9.14) и (9.15), получаем

(9.16).

Таким образом, функция g(t) отличается от сигнала S(t) только постоянным множителем а , смещением на величину t₀ и знаком аргумента t (то есть функция g(t) являетс