Определимого стержня при растяжении - сжатии

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Чугунный стержень, закрепленный с одной стороны, загружен силами P1 = 40 кН, Р2 = 70 кН, Р3 = 30 кН, Р4 = 110 кН. Продольные размеры стержня: а = 1м, b = 1,2 м, с = 2 м, d = 0,8 м. Допускаемые напряжения на растяжение [sр] = 50 МПа, допускаемые напряжения на сжатие [sсж] = 200 МПа. Модуль нормальной упругости Е = 2∙105 МПа.

Требуется определить:

1) Из условия прочности диаметры поперечных сечений на каждом участке стержня;

2) Из условия прочности диаметр круглого, постоянного по всей длине стержня и сравнить массу полученного стержня с массой стержня, полученного в п.1;

3) Деформацию ступенчатого стержня.

4) Деформацию круглого, постоянного по всей длине стержня, и сравнить ее с полученной в п.3.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Под действием внешних нагрузок (Р1, Р2, Р3, Р4)в теле стержня возникают внутренние усилия - напряженияs,величина которых определяется методом сечений. По этому методу в том месте, где определяются напряжения проводится сечение и рассматривается равновесие одной части стержня под действием внешних сил действующих на эту часть и внутренних усилий действующих в сделанном сечении.

Рассмотрим часть стержня левее сечения I-I . На рассматриваемую часть действует внешняя сила Р1.По сечению I-I действуют внутренние усилия - напряжения sI,равнодействующая которых - NI.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Из условия прочности необходимая величина площади поперечного сечения этой части стержня АI определится:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru .

Диаметр первой части стержня определится:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Изменение длины участка «а»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассмотрим часть стержня левее сечения II-II. На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р1 и Р2.

По сечению II-II действуют внутренние усилия-напряжения

Рис.3
sII , равнодействующая которых - NII.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Как видно, в уравнение N внешняя сила входит со знаком плюс если направлена от сечения(Р1) и со знаком минус, если направлен к сечению (Р2). Или же растягивающая сила со знаком плюс, сжимающая со знаком минус. И если в результате вычисления получаем N со знаком плюс это значит, что рассматриваемый участок растянут, а если со знаком минус - то сжат. Полученное значение NII = -30 кН говорит о том, что второй участок сжат и при определении площади сечения необходимо брать допускаемое напряжения для сжатия [sсж] = 200 МПа.

Необходимая площадь поперечного сечения:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Диаметр второй части стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Изменение длины участка «b»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассмотрим часть стержня левее сечения III-III. На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р12 и Р3.

По сечению III-III действуют внутренние усилия - напряжения sIII, равнодействующая которых - NIII.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Необходимая площадь поперечного сечения АIII:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Диаметр третьей части стержня определится:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Изменение длины участка «с»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рис. 5
Рассмотрим часть стержня левее сечения IV-IV. На рассматриваемую часть действуют внешние силы Р1, Р2 Р3 и P4.

По сечению IV-IV действуют внутренние усилия - напряжения sIV, равнодействующая которых - NIV.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рассматриваем равновесие этой части стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Необходимая площадь поперечного сеченияАIV :

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Диаметр четвёртой части стержня определится

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Изменение длины участка «d»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Суммарная деформация всего стержня определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru складывается из деформаций отдельных его частей:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

На сновании результатов расчёта делается чертёж стержня. Диаметры частей указаны в сантиметрах. Все части стержня будут загружены на 100%.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Объём части стержня длиной «a»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Объём части стержня длиной «b»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Объём части стержня длиной «c»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Объём части стержня длиной «d»:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Полный объём всего стержня:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Если стержень изготавливать по всей длине одинакового диаметра, то он будет равен 3,56 см. В этом случае часть «d» будет загружена на 100%, а все остальные будут недогружены.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Объем стержня в этом случае будет:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Так как объем и масса прямо пропорциональны через плотность материала, то из соотношения объёмов и следовательно масс, будет:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru.

Деформация стержня постоянного поперечного сечения по всей длине определится:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Соотношение деформаций стержней по второму и первому варианту:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Пример расчета РГР 2

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ

НА ПРОЧНОСТЬ

Для балки, изображённой на рис.1, загруженной сосредоточенными силами Р1=20кН, Р2=40кН, равномерно распределённой нагрузкой q=10кН/м и сосредоточенныммоментомМ0=30кН·мтребуется:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рис. 1. Схема нагружения балки

1. Начертить ее в масштабе по данным своего шифра;

2. Определить реакции опор;

3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил;

4. Из условия прочности по нормальным напряжениям [s] =160 МПа определить размеры круглого и двутаврового сечений.

5. Сравнить массы полученных балок и выбрать вариант с наименьшей материалоемкостью;

6. Проверить выбранное сечение на касательные напряжения;

Определение реакций опор.

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Рис. 2. Схема к определению опорных реакций.

В точках закрепления балки к основанию (точки А и В) прикладываем реакции опор RA и RB. Равнодействующая R равномерно распределённой нагрузки q (рис. 2.) определится:

R = q · 6 = 10 · 6 = 60 кН.

Равнодействующая приложена в середине участка: т.е. в трёх метрах от левого края.

Определяем реакции RА и RВ.

Составляем уравнения статики:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Для проверки записываем уравнение:

определимого стержня при растяжении - сжатии - student2.ru

Следовательно, реакции опор RA и RB найдены верно.

Наши рекомендации