Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Имеем Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru ;

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , и по формуле (5.2) получаем

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . (5.3)

Областью сходимости этого степенного ряда является интервал Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

2. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Имеем: Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , откуда

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , а нечетного порядка Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , и по формуле (5.2) имеем

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.4)

Область сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

3. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Рассматривая аналогично функции Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , получим:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.5)

Область сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

4. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , где Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru – любое действительное число.

Имеем Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru ,

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , …,

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , …

При Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru : Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru ,

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , …, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru и по формуле (5.2) получаем

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.6)

Найдем интервал сходимости ряда:

Ряд, составленный из модулей Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , исследуем с помощью признака Даламбера:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Следовательно, интервал сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . На концах интервала при Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru сходимость ряда зависит от конкретных значений Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Ряд (5.6) называется биномиальным. Если Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru – целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru сомножитель Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru равен нулю, следовательно, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru -йчлен ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Выпишем некоторые разложения функции Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru при различных Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.7)

Если в это разложение подставить Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru вместо Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , получим:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.8)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.9)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.10)

5. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (5.7) и свойством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (5.7) в интервале Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , где Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , с учетом того, что Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , получим

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.11)

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

6. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (5.8):

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.12)

Область сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Воспользуемся разложением (5.10), подставив в него Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru вместо Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Интегрируя в интервале Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , где Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , получаем:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (5.13)

Область сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (5.3) – (5.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (5.3) – (5.13).

Примеры

1) Разложить в ряд Маклорена функцию Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложим в ряд Маклорена функцию Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , заменяя в разложении (5.5) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru на Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Тогда

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Это и есть разложение в ряд Маклорена функции Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . Очевидно, что оно справедливо при любом Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

2) Разложить в ряд Тейлора по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru функцию Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было воспользоваться разложением (5.7):

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Полученное разложение справедливо, когда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . Отсюда получаем Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru или Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Примеры

I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

а) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Для вычисления Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru запишем ряд (5.3) при Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , принадлежащем области сходимости Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Итак, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

б) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Воспользуемся разложением (5.11), подставив в него Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , входящее в область сходимости Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.

Если в качестве Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru (здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru )

Итак, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

в) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Для вычисления Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru запишем ряд (5.4) при Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , принадлежащем области сходимости Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru ). Итак,

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:

a) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.

Воспользуемся разложением (5.4). Разделив обе части на Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , получим

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , причем ряд сходится при всех значениях Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . Интегрируя почленно, получим:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Возьмем первые три члена разложения, т.к. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Итак, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

б) Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Решение. Заменив Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru на Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru в разложении (5.3), получим:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Умножая полученный ряд на Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru :

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru ,

и почленно интегрируя в интервале Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , принадлежащем интервалу сходимости ряда Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , имеем:

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

При этом Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru . Итак, Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Задачи

Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.

86. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 87. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 88. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

89. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 90. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 91. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

92. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.

93. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

94 Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

95. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

96. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

97. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

98. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru по степеням Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

99. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 100. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 101. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 102. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 103. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

104. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:

105. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 106. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

Ответы

В задачах1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.

В задачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40, и 41 – ряды расходятся.

В задачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.

В задачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.

В задачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.

60.(-1;1],61.[-1/2;1/2),62.{0},63.(-1/3;1/3],64.(-1;1),65.[0;2],66.[-10;10),67.(-∞;∞), 68.(-7;-1), 69. [-4;4), 70. (-2;2), 71. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , 72. [1;3), 73. (-1/3;1/3), 74. (-∞;∞), 75. [-1;1], 76. [-1;1), 77. (1;5], 78. (-1/4;1/4), 79. (-1/3;1/3), 80. (-3;1], 81. (-1;1], 82. (-∞;∞), 83. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , 84. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru , 85. [-1/e;1/e),

86. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 87. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

88. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 89. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

90. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 91. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

92. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 93. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

94. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 95. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

96. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 97. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

98. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

99. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 100. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 101. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

102. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 103. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 104. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru

105. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru 106. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций - student2.ru .

Оглавление

§1. Основные понятия. 4

§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. 7

§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов. 22

§4. Степенные ряды.. 27

§5. Ряды Маклорена и Тейлора. 32

§6. Применение рядов в приближенных вычислениях. 39

Ответы.. 43


Подписано в печать 2012 г. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2.
Тираж 600. Заказ №

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова

Издательско-полиграфический центр

117571, Москва, просп. Вернадского, 86.

* Напомним, что степенью степенного выражения называется наибольшая из степеней входящих в него слагаемых, само это слагаемое называется старшим, а его коэффициент называется старшим коэффициентом. Например, у степенного выражения старшее слагаемое имеет степень 1,5, а старший коэффициент равен 5.

Наши рекомендации