Признаки сходимости знакопостоянных рядов

Ряды

Учебно-методическое пособие

Москва 2012

УДК 51

ББК 22.1

Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.

Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк

Ряды. Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 44 с.

Утверждено библиотечно-издательской комиссией

в качестве учебно-методического пособия

для студентов 2–4-го курсов дневного отделения

всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова

по дисциплине «Высшая математика», поз. /2012.

МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2012

Основные понятия

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:

. (1.1)

Числа называются членами ряда, а член – общим или n-м членом ряда.

Ряд (1.1) считается заданным, если известен его общий член , ( ), т.е. задана функция натурального аргумента. Например, ряд с общим членом имеет вид:

Образуем новую последовательность:

………………..

Определение. Сумма первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается .

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда.

То есть, если , то ряд сходится, а – сумма ряда. В этом смысле можно записать .

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет.

Пример 1. Исследовать на сходимость геометрический ряд, т.е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:

(1.2)

Решение. Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд (1.2) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, т.е. n-я частичная сумма ряда при равна .

Возможно несколько случаев:

1) если , то

и , т.е. ряд сходится и его сумма .

2) если , то и, следовательно, , и ряд расходится.

3) если , то ряд (1.2) примет вид , его и , ряд расходится.

4) если , то ряд (1.2) примет вид , и его при четном и при нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится.

Т.о. геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при .

Пример 2. Найти сумму ряда:

Решение. -я частичная сумма ряда:

Учитывая, что

, , ,..., ,

частичную сумму ряда можно представить в виде

и тогда получаем: , т.е. сумма ряда .

Свойства сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд , полученный умножением данного ряда на число , также сходится, и имеет сумму .

Свойство 2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряды также сходятся и их суммы равны соответственно и .

Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов.

Установить сходимость (расходимость) ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления , как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении (суммировании первых членов ряда). Обычно сходимость (расходимость) ряда устанавливается с помощью специальных теорем – признаков сходимости.

В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.

А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен:

0, если степень числителя меньше степени знаменателя;

, если степень числителя больше степени знаменателя;

отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя*.

Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем:

II. Признак Даламбера

Теорема. Пусть для ряда ( ) существует предел отношения ( )-го члена ряда к -му: . Тогда:

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры

Исследовать следующие ряды на сходимость:

1) . Решение. Т.к.

то по признаку Даламбера ряд сходится.

2)

Замечание. Напомним, что , поэтому .

Решение. Воспользуемся формулой , тогда:

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

3)

Решение

и ряд расходится.

Замечание. С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для - го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.

Примеры

1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида , , называемого обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. В этом случае требуемой функцией является . Функция является невозрастающей на интервале . Вычислим .

Если , то .

Если , то .

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при . То же самое можно сказать и о данном ряде.

Запомнить! Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при .

2) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выписав и заменив в нем n на x, получим функцию .

Внимание! Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано!

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: . Критическая точка , на интервале , т.е. функция невозрастающая. Теперь можно переходить к интегрированию.

, интеграл расходится, расходится и данный ряд.

V. Признаки сравнения

Теорема.Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2.5)

(2.6)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго при любом , т.е.

(2.7)

Тогда: а) если сходится ряд (2.6), то сходится и ряд (2.5)

б) если расходится ряд (2.5), то расходится и ряд (2.6).

Удобно применять другую формулировку этой теоремы:

а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится;

б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится.

Примеры

Исследовать сходимость следующих рядов:

1)

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (2.8)

,

.

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

,

,

,

,

при некотором .

2)

Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится.

3)

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд – сходится при , расходится при ,

б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (2.7), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.

Примеры

1)

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения.

Выпишем предел и преобразуем его:

(2.9)

Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е. , или (в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не ). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится.

Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (2.9), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к , и к исходному ряду.

Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения.

Теорема.Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится.

Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при ):

.

Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , т.е. n является бесконечно большой. А вот бесконечно малыми являются величины вида: (и вообще при ), (и вообще при ).

2)

Решение. Т.к. при (т.е. – б.м.), то , и ряд ведет себя так же, как и ряд – обобщенный гармонический ряд при p=1/2<1, т.е. расходится.

На практике запись ведут кратко:

– расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам.

3) .

Решение. Т.к. ,то , ряд знакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку – б.м. при , то и = .

Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится).

Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость.

4)

Решение. Проверим необходимый признак: – необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера:

,

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечание к признаку Даламбера).

Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:

,

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов.

Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: ... Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического , что вытекает из неравенства (2.8), то данный ряд расходится.

Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».

Задачи

А) Исследовать ряды с помощью признака Даламбера:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

B) Исследовать ряды с помощью радикального признака Коши:

7. 8. 9. 10.

C) Исследовать ряды с помощью интегрального признака Коши:

11. 12. 13.

14. 15.

D) Исследовать ряды с помощью признаков сравнения:

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Е) Исследовать ряды на сходимость:

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

37 . 38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. .

Примеры

Исследовать на сходимость следующие ряды:

1)

Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.

2) .

Решение. Проверим условие (3.2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида с помощью вычисления производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, раздел IV, пример 2). В нашем случае при , и функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых , начиная с трех.

Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и .

Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Предполагаем теперь, что в записи

(3.4)

имеются как положительные, так и отрицательные .

Теорема. (Модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4):

(3.5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится.

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится.

Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Примеры

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

1)

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится по признаку сравнения, т.к. , а ряд – сходится (обобщенный гармонический ряд при ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

2)

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом (p подберем в процессе сравнения), имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.

Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:

1) , 2) .

Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.

Задачи

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

45. 46. 47.

48. 49. 50.

51. 52. 53.

54. 55. 56.

57. 58. 59.

Степенные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:

(4.1)

Определение. Ряд вида (4.1) называется степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида:

(4.2)

(по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (4.1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: .

Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (4.1) или (4.2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что .

2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и .

Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

(4.3)

Т.к. при каждом конкретном ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

.

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ).

Следовательно, ряд (4.1) сходится абсолютно