Переходные процессы в нелинейных цепях

В нелинейных цепях не только переходный, но и установившийся режим может зависеть от начальных условий, чего никогда не бывает в линейных цепях.

Включение линейной цепи с индуктивностью или емкостью на синусоидальное напряжение может сопровождаться появлением сверхтоков (напряжений), превышающих установившееся значение максимум в два раза. Включение аналогичных цепей, но с нелинейной индуктивностью или емкостью на такое же синусоидальное напряжение может вызвать появление токов (напряжений), превышающих установившееся напряжение в несколько десятков раз, что в свою очередь может вызвать аварийный режим.

При расчете нелинейных цепей нельзя пользоваться методом наложения. Отсюда следует, что разделение токов и напряжений на свободные и принужденные составляющие, применяемое для линейных цепей, для нелинейных неприменим. Анализ переходных процессов в нелинейных цепях выполняют на основе законов Кирхгофа, в которые входят действительные значения токов и напряжений.

К числу широко применяемых методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях относятся: метод интегрируемой аппроксимации; метод условной линеаризации; метод кусочно-линейной аппроксимации; метод последовательных интегралов; метод итераций.

Метод интегрируемой аппроксимации

Основная идея метода состоит в подборе аналитической функции, аппроксимирующей нелинейную ВАХ, которая бы позволила произвести расчет переходного процесса в аналитической форме. Рассмотрим метод на конкретном примере.

Пример 14. Требуется найти закон изменения напряжения u(t) при размыкании рубильника в цепи, схема которой приведена на рис.67, если ВАХ нелинейного резистора задана аналитически функцией , а начальные условия .

Рис.67. Схема цепи

Решение. По первому закону Кирхгофа запишем уравнение:

. (90)

Продифференцируем его:

, откуда . (91)

После разделения переменных и интегрирования получаем:

, (91)

где А-постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий. После размыкания рубильника при :

, => , (92)

откуда . В итоге получаем:

. (93)

Из приведенного примера следует, что для нахождения решения в аналитической форме необходимо выбрать аппроксимирующую функцию так, чтобы получаемые уравнения можно было проинтегрировать. При этом не всегда удается добиться достаточной точности расчета, а в некоторых случаях аналитическое решение может не только количественно, но и качественно отличаться от экспериментальных результатов.

Метод условной линеаризации

Основная идея метода условной линеаризации состоит в замене нелинейной характеристики отрезком прямой на ее рабочем участке. Рассмотрим применение данного метода на примере.

Пример 15.Найти закон изменение напряжения на конденсаторе при замыкании ключа в цепи на рис.68.а ВАХ диода приведена на рис.68.б.

Решение.Для нахождения рабочих точек на ВАХ диода до замыкания и после замыкания ключа применим метод эквивалентного генератора. Заменим всю цепь, кроме ветви с вентилем (нелинейное сопротивление) активным двухполюсником (рис.69).

Рис.68. Схема цепи и ВАХ диода

Напряжение u_ab при разомкнутом ключе:

. (94)

Конденсатор на установившийся режим при постоянной ЭДС не оказывает влияние. Напряжение U_ab при замкнутом ключе:

. (95)

Получили два уравнения прямой линии. Эти две прямые построены на рис.68.б.

При .

При :

, . (96)

Точки пересечения этих прямых с ВАХ диода дают установившиеся значения напряжения и тока до и после замыкания ключа, т.е. определяют предельные значения напряжения на диоде. Проведя прямую через эти точки a и b, мы условно линеаризируем ВАХ в рабочей зоне. Уравнение прямой:

, (97)

где , - параметры схемы замещения диода.

Рис.69. Эквивалентный двухполюсник

Дифференциальное сопротивление диода - определяют из ВАХ:

. (98)

Диод замещают источником ЭДС , включенной последовательно с линейным сопротивлением . (рис.70)

В итоге исходную нелинейную цепь можно представить в виде линейной цепи, для которой переходная функция напряжения конденсатора определяется уравнением:

. (99)

Рис.70. Схема замещения диода

Эквивалентная схема всей цепи представлена на рис.71.

Для схемы замещения:

, (101)

, (102)

где А – постоянная интегрирования;

p – корень характеристического уравнения.

Переходная функция напряжения на конденсаторе:

. (103)

Рис.71. Эквивалентная цепь

Составим характеристическое уравнение для эквивалентной цепи:

, (104)

откуда: . (105)

Определим постоянную интегрирования из начальных условий. При =0, напряжение на конденсаторе:

. (106)

Подставляя значение для переходной функции (100), получим:

. (107)

В итоге переходная функция напряжения на конденсаторе:

. (108)