ТЕМА 9. Дифференциальное исчисление

Определение производной

Пусть функция определена и непрерывна на интервале . Зададим аргументу некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Рассмотрим предел этого отношения при :

.

Определение. Производной функции в точке x называется предел (если он существует) отношения приращения функциикприращению аргумента , когда последнее стремится к нулю ( ).

Таким образом, получаем

(16)

или

. (17)

Замечание. При вычислении производной функции по опреде-лению возникает неопределенное выражение вида . Раскрывая эту неопределенность, выясняем существование предела и тем самым производной функции в точке x.

Для обозначения производной функции часто используют также символы:

, , .

Если в каждой точке существует производная , то функция называется дифференцируемой на интервале , а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной

Касательной к кривой в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей когда точка M, двигаясь по кривой, неограниченно прибли-жается к точке (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Рассмотрим график непрерывной на функции (рис. 9.2), имеющей в точке невертикальную касате-льную. Найдем угловой коэффициент этой касательной: , где j – угол наклона касательной к оси .

Придадим переменной x приращение , функция также получит приращение , соответствующей ему точкой на кривой будет , где , . Проведем секущую и обозначим через y угол между секущей и осью Ox. Рассмотрим треугольник тогда . Угловой коэффициент секущей равен

.

Из непрерывности функции следует, что при приращение также стремится к нулю; но тогда точка М, двигаясь по кривой, в пределе совпадает с точкой а секущая, поворачиваясь в точке в пределе переходит в касательную, тогда

.

Поэтому угловой коэффициент касательной равен:

.

Рис. 9.2

Таким образом, геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна , или, что то же самое, тангенсу угла наклона касательной в точке к оси абсцисс.

Правила дифференцирования, таблица производных

Для вычисления производных необходимо знать правила дифференцирования и формулы, определяющие производные прос-тейших функций. Вывод этих правил и формул основывается на определении производной функции.

Правила дифференцирования

Пусть , – дифференцируемые функции на интервале , .

1. .

Доказательство.Пусть , придадим переменной приращение, тогда . Составим отношение и вычислим предел .

2. .

Доказательство.Пусть , тогда , . По определению имеем .

3. .

Доказательство.Пусть и функция – дифференцируемая на интервале , т. е. . Придадим переменной x приращение, тогда функции y, u также получат приращение:

, Переходя к пределу при , получаем

4. .

Доказательство.Пусть , , – дифференцируемые функции на интервале , т. е.

, .

Запишем приращение функции, соответствующее приращению переменной :

.

По определению производной и свойствам пределов функций получаем:

.

5. .

Доказательство.Пусть , где , – дифференцируемые функции на интервале :

, .

Если независимая переменная получит приращение , тогда функции y, u, v также получат приращение, т. е.

.

По определению производной и свойствам пределов функций получаем:

.

6. , .

Доказательство.Пусть , и , – дифференцируемые функции на интервале :

, .

Приращению соответствуют приращения функций

y, u, v, тогда:

.

По определению производной и свойствам пределов функций имеем:

.

Пример 9.1.Найти производную функции по определению: 1) ; 2) ; 3) .

Решение

1) .Значению независимой переменной x соответ-ствует значение функции , значению соответствует значение функции . По оп-ределению производной (17) имеем:

. Таким образом, .

2) . Запишем приращение функции , соответ-ствующее приращению независимой переменной ( ): . По определению производной функции имеем:

,

т. е. .

3) .Значению аргумента x соответствует значение функции , а значению соответствует значение функции .

Найдем приращение функции:

,

вычислим предел:

.

Таким образом, получаем

Таблица производных простейших функций

1)	, ;	8)	, ;
2)	, , ;	9)	;
3)	;	10)	;
4)	;	11)	;
5)	;	12)	;
6)	;	13)	.
7)	;

Пример 9.2.Найти производную функции:

1) 2) .

Решение

1) Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

.

2)По правилу дифференцирования дроби имеем:

.