Тема 2. Дифференциальное исчисление

Согласовано

Методическим Советом

Протокол № ____

от «____» _______ 2011 г.

Одобрено

Цикловой комиссией

Математических и общих

естественнонаучных дисциплин

протокол № __

от «___» ______________ 2011 г

Утверждаю

Зам. директора

По учебной работе

_____________ Коротаева Т.М.

«______» ______ _______ 2011 г

Авторы:

Трудова С.В. – методист УТЖТ – филиала ПГУПС

Рыбина Н.С. -преподаватель УТЖТ – филиала ПГУПС

Козлова Е.Н. –заместитель директора по воспитательной работе УТЖТ – филиала ПГУПС

рецензенты:

Акулова А.Н. –Отличник среднего специального образования, заслуженный работник РК

Коснырева Н.И. –преподаватель УТЖТ – филиала ПГУПС

пояснительная записка

Учебным планом специальностей 210420 Техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования (по видам транспорта), 270836 Строительство железных дорог, путь и путевое хозяйство, 220415 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте) предусмотрена дисциплина «Прикладная математика».

«Прикладная математика» - обязательная дисциплина в цикле математических и общих естественнонаучных дисциплин. Изучение дисциплины позволяет приобрести знания необходимые для дальнейшего обучения в техникуме.

В результате изучения дисциплины студент должен иметь представление:

o о месте и роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

o о методах и средствах сбора, обработки, хранения, передачи и накопления информации;

o о методах математического моделирования и технологии решения задач с использованием ЭВМ;

o об информационной среде и тенденциях ее развития на железнодорожном транспорте;

знать и уметь использовать:

o математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

o математические методы при решении прикладных задач; простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности;

o методы и средства информационных технологий при решении профессиональных задач;

иметь опыт:

o использования вычислительной техники и программного обеспечения применительно к профессиональной деятельности.

В процессе изучения дисциплины студент-заочник должен выполнить одну контрольную работу.

Данные методические указания ставят своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их самостоятельной работы, содержат разъяснения некоторых теоретических положений для решения примеров и задач, способов их решения, вопросы для самопроверки, задания на контрольную работу.

Рекомендуется следующая последовательность изучения материала:

1. Ознакомиться с содержанием программы.

2. Изучить материал по указанной в методических указаниях литературе.

3. Ответить на вопросы для самопроверки.

4. Закрепить усвоение материала путем разбора решенных задач в данных методических указаниях, на практических занятиях, в учебнике.

5. Приступить к решению задач контрольной работы, предварительно изучив материал, касающийся содержания задач.

В целях закрепления знаний и приобретения необходимых навыков программой предусмотрены практические занятия, конкретное число которых определяет цикловая комиссия колледжа. Ниже приведен перечень практических занятий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М., 2007.

2. Богомолов Н.В. Учебник. М., 2007

3. Дадаян А.А. Математика. М., 2003 г.

4. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы (любое издание).

Общие методические указания

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого затрата сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его практически – вот в чем суть умения работать с учебными пособиями.

Некоторые практические советы. Прежде всего, необходимо ознакомиться с содержанием программы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса, так как замена учебника может привести к утрате логической связи между отдельными вопросами.

Конспект по математике главным образом должны содержать определения, чертежи и выводы основных формул. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать, что они делаются для того, чтобы впоследствии ими пользоваться.

Учитесь самоконтролю. Для заочника это важнейшая форма проверки правильности понимания и усвоения материала.

Помните: учебник нужно не читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо вырабатывать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену дает слабые и поверхностные знания.

О решении задач. Решение задач является лучшим способом закрепления материала. Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:

1. Величины, данные в условии задачи, необходимо перевести в одну систему единиц; нарушение этого правила является распространенным источником ошибок у студентов.

2. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами.

3. Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.

4. Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.

5. Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное, и т. п.

6. Попробуйте расчленить данную задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.

7. Найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого шага, произведите проверку решения и, если нужно, его исследование.

8. Подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе; известно, что одна и та же задача может иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное.

9. Если решить задачу не удается, отыщите в учебной (или популярной) литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно это «готовое» решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи.

Контрольные работы следует выполнять самостоятельно и лишь после того, как проработан соответствующий теоретический материал и решен необходимый минимум задач. Так как каждой теме соответствует задача или упражнение, то контрольную работу следует выполнять постепенно по мере изучения материала.

При решении задач следует обосновать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

1. Каждая работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца или аккуратно записаны все данные титульного листа; шифр, специальность, если она не отражена в шифре, фамилия, имя, отчество учащегося, предмет и номер работы.

3. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

4. Каждую задачу надо начинать с новой страницы.

5. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании, номера задач следует указывать перед условием.

6. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь; к геометрическим задачам, кроме того, дается установленная краткая запись условия.

7. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения. Перечислим важнейшие из этих требований:

а) учащиеся должны соблюдать абзацы, всякую новую мысль следует начинать с красной строки;

б) важные формулы, равенства, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы сделать их более обозримыми;

в) при описании решения задачи краткая запись условия отделяется от решения и в конце решения ставится ответ;

г) серьезное внимание следует уделять правильному написанию сокращенных единиц величин;

д) необходимо правильно употреблять математические символы.

8. Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, соблюдая масштаб.

10. В конце работы следует указать литературу, которой вы пользовались, проставить дату выполнения работы и подпись.

11. Если в работе допущены недочеты и ошибки, то учащийся должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

12 Контрольные работы должны быть выполнены в срок (в соответствии с учебным планом-графиком), В период сессии работы на проверку не принимаются.

13. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается учащемуся без оценки.

14. Студенты, не имеющие зачета по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

15. Во время экзамена зачтенные контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

16. Контрольная работа имеет 50 вариантов. Вариант работы выбирается по двум последним цифрам шифра (номера личного дела). Например, студенты, имеющие шифры 23, 117, 300, 207, получат варианты 23, 17, 00, 07. Студенты, у которых шифры от 1 до 9, должны добавить впереди цифру «0», т. е. они получат варианты 01, 02, 03, ..., 09.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Введение.

Понятие о предмете «математика». История возникновения, развития и становления математики как основополагающей дисциплины, необходимой для изучения профессиональных дисциплин. Роль математики в современном мире. Цели, задачи математики. Основные понятия и представления. Связь математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами.

В результате изучения темы студент должен

иметь представление:

- о роли математики при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин в профессиональной деятельности.

Тема 1. Пределы.

Определение предела функции. Понятие предела функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.

В результате изучения темы студент должен

иметь представление:

о пределе функции;

знать:

- I и II замечательный пределы;

- определение предела;

-определение бесконечно малой и бесконечно большой функций;

-основные теоремы о пределах;

уметь:

-вычислять пределы функций в точке и в бесконечности, применяя основные теоремы о пределах и правила вычисления.

Пределы.

По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки.

Определение1:Число А называется пределом функции f(х) при х →а, если для любого число ε > 0 можно указать δ >0, что для любого х ≠ а, удовлетворяющему неравенству 0<|х – а |<δ, выполняется неравенство |f(х) – А |<ε. В этом случае пишут Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = А. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Определение 2:Функция f(х) называется бесконечно малой при х →а, если Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = 0

Пример1: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Определение 3: Функция f(х) называется бесконечно большой при х →а, если Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = ± ∞.

Пример2: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Свойства бесконечно малой и бесконечно большой функций:

1.Если f(х) – бесконечно малая функция, то Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru - бесконечно большая функция.

2.Если f(х) – бесконечно большая функция, то Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru - бесконечно малая функция.

Теоремы о пределах.

Теорема 1:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(х) и g(х):

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru (f(х) + g(х))= Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru + Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru g(x).

Теорема 2:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), то существует и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(х) и g(х):

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru (f(х) * g(х))= Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru f(x)*. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Теорема № 3:Если существуют пределы функций f(х) и g(х), предел функции g(х) отличный от 0, то существует и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(х) и g(х): Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Следствия.

Следствие 1:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Следствие 2:Предел степени равен степени пределов.

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = ( Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru )n.

Следствие 3: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = с.

Замечательные пределы.

I замечательный предел: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru х= е; Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , е = 2,7182818…

Пример 13: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 2х/3*3/2*5 = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ((1 + Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru )(3х/3))15/2 =

( Заменим Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = у и учтём, что у→∞ при х→∞) = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ((1 + Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru )у)15/2 = е15/2

II замечательный предел: : Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru =1; Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 14: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = (заменим 3х = у и учтём, что у→0 при х→0) = 3 Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru =3*1 = 3

Пример 12: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = ( применим формулу Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ) = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru = Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

У п р а ж н е н и я д л я с а м о п р о в е р к и:

Вычислите:

1. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 6. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

2. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 7. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

3. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 8. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

4. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 9. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

5. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru 10. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Ответы:1. 0; 2.2; 3.∞; 4.48; 5. 32; 6.1,5; 7.1; 8. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; 9.1; 10. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Дифференциальное исчисление

По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.

Производная и ее приложения

Производная. Понятие производной является одним из фундаментальных понятий к математике. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Пусть функция Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru определена в промежутке Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Возьмем из этого промежутка фиксированное значение аргумента x и придадим ему приращение Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru так, чтобы новое значение аргумента Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru принадлежало этому промежутку. Тогда значение функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru заменится новым значением Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. функция получит приращение Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Предел отношения приращения функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru к вызвавшему его приращению аргумента Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru при стремлении Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru к нулю, т.е.

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ,

называется производной функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru по аргументу x в точке x.

Производная обозначается одним из символов: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , а ее значение при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru обозначается Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функция Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru имеет производную в точке x, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru имеет производную в каждой точке промежутка X, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Производная сложной функции. Пусть Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , где u является не независимой переменной, а функцией независимой переменной x: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Таким образом, Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

В этом случае функция y называется сложной функцией x, а переменная u – промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru и Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу и на производной промежуточного аргумента и по независимой переменной x:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Например, если Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования. Во всех приведенных ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x: Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , а буквами a, c, n – постоянные:

1. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

2. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

3. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

4. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

5. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

6. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

7. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

8. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

9. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

10. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

11. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

12. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

13. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

14. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

15. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

16. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

17. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

7а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

8а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

9а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

10а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

11а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

12а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

13а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

14а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

15а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

16а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

17а. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.

Пример 1. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5, 7 и 8:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 2. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 3. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru и вычислить ее значение при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Используя формулы 7а и 10, имеем

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Вычислим значение производной при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример 4. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 5. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 6. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru и вычислить ее значение при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Вычислим значение производной при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 7. Найти производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru и вычислить ее значение при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Вычислим значение производной при Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Геометрический смысл производной.Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируема в точке х, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке (х0, у0), равен значению производной функции при х=х0, т.е. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Уравнение этой касательной имеет вид

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример 8. Составить уравнение касательной к графику функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке А (3,6).

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х=3:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Уравнение касательной имеет вид

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , или Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке с абсциссой х=2.

Решение. Сначала найдем ординату точки касания Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , имеет вид Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х=2:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Уравнение касательной таково:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t), то за промежуток времени Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru (от момента t до момента Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ) оно пройдет некоторый путь Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Тогда Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru есть средняя скорость движения за промежуток времени Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения пути Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru к приращению времени Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , когда приращение времени стремиться к нулю:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 10.Закон движения точки по прямой задан формулой Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru (s – в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути s по времени t:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , где v0 – начальная скорость, g –ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если v0=40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru с.

За 40/g секунд тело поднимается на высоту

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru м.

Вторая производная. Производная функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru в общем случае является функцией от х. Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Второй производной функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется производная от ее первой производной Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Вторая производная функции обозначается одним из символов – Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Таким образом, Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru или Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru , Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 12.Найти вторую производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Сначала найдем первую производную

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример 13. Найти вторую производную функции Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru и вычислить ее значение при х=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Вычислим значение второй производной при х=2; имеем Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Физический смысл второй производной.Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Найти скорость и ускорение движения Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути s по времени t, а ускорение – второй производной пути s по времени t. Находим:

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; тогда Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; тогда Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Пример 15.Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона, сила F, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru или Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Согласно условию, Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Дифференцируя это равенство, найдем

Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Следовательно, действующая сила Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Приложения производной к исследованию функции.

1) Условие возрастания функции: Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная больше ноля, т. е. y = f(x)↑ f’(x)>0. Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением к оси оХ.

У

y = f(x)

0 α

Х

2) Условие убывания функции: Дифференцируемая функция y = f(x) монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная меньше ноля, т. е.

y = f(x)↓ Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru f’(x)<0 .Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси оХ)

У

α

Х

y = f(x)

3) Условие постоянства функции:Дифференцируемая функция y = f(x) постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда её производная равна нулю, т. е. y = f(x) – постоянна Тема 2. Дифференциальное исчисление - student2.ru f’(x)=0 .Это условие геометрически означает, чтокасательная к графику данной функции параллельна оси оХ, т. е. α = 0)

У

0 Х

y = f(x)

Экстремумы функции.

Определение 1: Точку х = х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки) выполняется неравенство f(x)> f(x0)

Определение 2: Точку х = х0 называют точкой максимума фун

Наши рекомендации