Однородная система линейных алгебраических уравнений
Определение. Система линейных алгебраических уравне-ний называется однородной (ОСЛАУ), если все свободные чле-ны системы равны нулю:
(5)
Очевидно, что однородная система линейных алгебраи-ческих уравнений совместна, так как одно ее решение всегда известно: все неизвестные равны нулю.
Теорема 2.2. Однородная система (5) имеет единственное нулевое решение тогда и только тогда, когда определить матрицы коэффициентов при неизвестных не равен нулю. В противном случае у системы (5) окажется множество решений.
Пример 2.3. Решить однородную систему уравнений
Решение.Вычислим определитель матрицы А:
.
Так как 
, то хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других, следовательно, система имеет множество реше-ний, которые найдем, например, методом Крамера.
Решим систему из двух уравнений (оставшееся уравнение является комбинацией этих двух):
Пусть 
, тогда
Вычислим определители
, 
, 
.
Тогда 
, 
, 
.
Ответ: 
, 
, 
.
Системы линейных неравенств
Определение. Два алгебраических выражения, соединен-ные одним из знаков <, >, £, ³, образуют неравенства. Нера-венства называются линейными, если переменные x, y входят в него в первых степенях, не перемножаясь между собой, то есть имеют вид:
, 
;
, 
.
Решением линейного неравенства называется всякая пара значений переменных х, у, при которых оно выполнимо. Решить неравенство – значит найти множество всех его решений.
Известно, что пара действительных чисел (x, y) однознач-но определяет точку координатной плоскости, поэтому мно-жество решений линейного неравенства можно изобразить графически на координатной плоскости. В зависимости от знака неравенства графическим изображением решения линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые раз-деляется плоскость соответствующей прямой.
Пусть задана система линейных неравенств:
тогда решением этой системы называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств этой системы, поэтому множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Если это пересечение пусто, то решения системы неравенств не существует.
Пример 2.4. Изобразить на координатной плоскости мно-жество решений неравенства 
.
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду 
. Построим на координатной плоскости прямую 
(рис. 2.1).
Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой 
, больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскос-ти, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства.
Рис. 2.1
Пример 2.5. Изобразить множество решений системы неравенств на координатной плоскости и определить координа-ты «угловых» точек этого множества:
Решение. Построим на координатной плоскости прямые 
(1), 
(2), 
(3), 
(4), 
(5) (рис. 2.2).
Все неравенства, входящие в систему, нестрогие, поэтому сами прямые будут входить в множество решений системы. Если неравенство имеет вид 
, то геометрическим изображением его решения является нижняя полуплоскость, если 
, то – верхняя полуплоскость.
Рис. 2.2
Угловые точки полученного множества лежат на пересечении двух прямых, поэтому, чтобы найти их координаты, необходимо решить системы уравнений, их задающих.
А: 
Þ 
.
B: 
Þ 
.
C: 
Þ 
.
D: 
Þ 
.
E: 
Þ 
.