Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Зная, что система совместна, решим ее:

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Решение. а) По формулам Крамера Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

находим: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

где Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru - основная матрица системы, Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.

Решение системы в матричной форме имеет вид Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru - обратная матрица для невырожденной матрицы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Матрица Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru определяется формулой

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru элементов Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru матрицы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

У нас Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

т.е. матрица Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru - невырожденная,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение системы:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

То есть, Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

в) Решим систему методом Гаусса. Для чего составим расширенную матрицу системы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и проведем элементарные преобразования строк: первую строку умножим на 2 и вычтем из второй строки, затем первую строку умножим на 3 и вычтем из третьей строки. После чего разделим элементы третьей строки на (–16).

Имеем: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Полученной матрице, эквивалентной заданной матрице Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , соответствует система уравнений

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru эквивалентная исходной.

Из последнего уравнения следует, что Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Подставив значение Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru во второе уравнение системы, получим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Подставив значения Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru в первое уравнение системы, получим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Итак, Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Проверкой легко убедиться в правильности найденного решения.

Задача 2. Даны вершины треугольника Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Найти:

а) уравнение стороны Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (записать общее и параметрические уравнения);

б) уравнение высоты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (записать его в отрезках);

в) уравнение медианы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (записать его в каноническом виде);

г) точку Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru пересечения медианы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и высоты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru параллельно стороне Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (записать его в нормальном виде);

е) расстояние от точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru до прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение.

а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, получим уравнение Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , откуда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru или Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – общее уравнение прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – параметрические уравнения прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

б) Угловой коэффициент прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . С учетом перпендикулярности прямых Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru угловой коэффициент высоты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . По точке Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и угловому коэффициенту Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru составляем уравнение высоты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru или Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . А в отрезках Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

в) Находим координаты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru середины Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru отрезка Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Теперь по двум известным точкам Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru составляем уравнение медианы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru :

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – каноническое уравнение прямой;

г) Уравнение медианы Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , а высота Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Для нахождения координат точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru пересечения этих прямых составляет систему уравнений Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Решая ее, получаем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

д) Так как прямая, проходящая через точку Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , параллельна стороне Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , то их угловые коэффициенты равны Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Тогда по точке Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и угловому коэффициенту Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru составляем уравнение прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru или Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Чтобы привести его к нормальному виду, введем нормирующий множитель Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где знак выбирается противоположным знаку Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru в общем уравнении прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . У нас Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Тогда нормальное уравнение нашей прямой имеет вид: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

е) Расстояние от точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru до прямой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru вычисляем по формуле:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где точка Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru имеет координаты Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – уравнение заданной прямой. У нас Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Решение задачи проиллюстрировано на рисунке.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Задача 3. Найти указанные пределы:

а) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; б) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

в) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; г) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; д) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение.

а) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

б) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

в) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

г) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

д) Здесь используем 2-й замечательный предел Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Получим

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 4. Продифференцировать функции: а) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

б) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; в) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; г) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

в) Прологарифмируем данную функцию:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Выразим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

г) Продифференцируем, имеем равенство:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Выразим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 5. Найти наименьшее и наибольшее значение функции

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru на отрезке Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Функция Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru определена на этом отрезке. Найдем критические точки: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Если Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , то Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Найденная точка принадлежит отрезку Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru существует для всех Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , т.к. Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru для всех Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Найдем значения функции при Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Следовательно, наименьшего значения данная функция достигает в точке Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , а наибольшего – в точке Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 6. Исследовать функцию Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и построить её график.

Решение. Общая схема построения графика функции:

1) находим область определения функции;

2) исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность;

3) исследуем функцию на монотонность и экстремум;

4) находим промежутки выпуклости и точки перегиба;

5) отыскиваем асимптоты графика функции;

6) для уточнения хода графика функции находим точки пересечения его с осями координат;

7) строим график функции.

В нашем случае имеем:

1. Областью определения Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru функции является множество

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

2. Функция нечетная, т.к. область ее определения симметрична относительно начала координат и выполнено условие Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Функция непериодическая.

3. Находим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Видим, что

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru для всех Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru не существует, если Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Эти

точки разбивают область определения функции на промежутки

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Исследуем знак производной Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru на этих

промежутках. Результаты заносим в таблицу

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru + Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru + Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru +
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru возрастает Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru возрастает Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru возрастает

Из таблицы видно, что функция всюду возрастает на Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и точки локального минимума и максимума не имеет.

4. Находим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Точками возможного перегиба являются точки

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Они разбивают область определения функции на

промежутки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Исследуем знак Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru на этих

промежутках. Результаты исследования заносим в таблицу

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru + Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru + Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru
Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru выпукла вниз Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru выпукла вверх перегиб выпукла вниз Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru выпукла вверх

5. Вертикальными асимптотами являются Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , причем

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Ищем наклонную асимптоту Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Так как Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , то Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – горизонтальная асимптота.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru 6. Находим точки пересечения графика с осями координат. Это точка Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

7. Строим график функции

Задача 7. Найти следующие интегралы.

а) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; б) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; в) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

г) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; д) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ; е) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Результат интеграла а) проверить дифференцированием.

Решение . а) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Произведем замену переменной Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Дифференцируем это равенство Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru или Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Проверка: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

б) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Положим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Отдельно вычислим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Разделим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru на Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru по правилу деления Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Исходный интеграл равен

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru в) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Разложим правильную рациональную дробь (степень числителя «2» меньше степени знаменателя «3») на сумму простейших дробей:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Приравниваем числители первой и последней дробей

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , получаем систему уравнений:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Þ Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Þ

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

г) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Выделим полный квадрат в выражении, стоящем под корнем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и сделаем замену переменной

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Тогда

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ;

д) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Под интегралом стоит иррациональная функция. Приведем ее к рациональной с помощью подстановки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru - наименьшее общее кратное показателей корней. Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Разделим “уголком” числитель Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru на знаменатель Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Получим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

е) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Интегралы вида Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента с помощью универсальной тригонометрической подстановки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . В результате имеем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Сделать схематический чертеж.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru прямыми Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и осью Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , вычисляется по формуле Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Построим фигуру.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задача 9. Проверить, удовлетворяет ли уравнению Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru функция Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

В правой части имеем: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Сравнивая полученные результаты, видно, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Задача 10. Исследовать на экстремум функцию Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Решение. Находим первые частные производные данной функции:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Получили стационарные точки данной функции: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого вначале найдем вторые частные производные данной функции:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Составим определитель Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Подставляя в Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru координаты стационарных точек и используя достаточные условия экстремума, имеем: для точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , т.е. экстремума нет, для точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , т.е. экстремума нет, для точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , т.е. экстремума нет, для точки Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задача 11. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (особые решения не рассматривать) Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Заменим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нужно умножить или разделить обе части уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , а в другую – только Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , и затем проинтегрировать обе части. Умножим последнее уравнение на Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Интегрируем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – общий интеграл.

Задача 12. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Разделим обе части уравнения на Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (*). Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение ищем в виде Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Подставляем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru в уравнение (*)

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru (**)

Функцию Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru находим из условия Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – это уравнение с разделяющимися переменными.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Интегрируем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . В качестве функции Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru взяли одно частное решение Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Подставляем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru в уравнение (**), получаем

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Следовательно, общее решение исходного уравнения

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Используя начальное условие Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ,

найдем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru : Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , откуда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Частное решение исходного уравнения будет Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Уравнение не содержит искомой функции. Введем новую функцию Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Исходное уравнение примет вид: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Это уравнение с разделяющимися переменными Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Интегрируем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – общее решение.

5. РЯДЫ

Задача 14. Исследовать на сходимость заданный числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Решение. а) Используем признак Даламбера:

если члены ряда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru положительны и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , то

при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится,

при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами.

Записываем общий член ряда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Член Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru получается из Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru заменой номера n на номер n + 1: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

б) Используем радикальный признак Коши :

если члены ряда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru положительны и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , то

при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится,

при L = 1 ряд нужно исследовать другими методами.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

в) Используем интегральный признак Коши. Пусть члены ряда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru убывают, функция f (x) непрерывна на [a;+¥) и Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Тогда

если несобственный интеграл Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru сходится, то ряд Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru сходится,

если несобственный интеграл Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru расходится, то ряд Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru расходится.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Несобственный интеграл сходится (имеет конечное значение), следовательно, ряд сходится.

Задача 15. Найти область сходимости функционального ряда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Решение. Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

По следствию из теоремы Лейбница, остаток ряда, начинающийся с третьего слагаемого, не превосходит числа e = 0,005 и, следовательно, сумма первых двух слагаемых Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru отличается от суммы ряда не более чем на 0,005. Таким образом, Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 17. Имеется 6 одинаковых шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наудачу раскладываем эти шары в 3 коробки по 2 шара. Найти вероятность того, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный.

Решение. Опыт состоит в том, что 6 шаров наудачу раскладываем по 2 шара в 3 коробки. Все исходы опыта равновозможны и их число n конечно. Следовательно, можем применить классическую формулу вероятности Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , где А – событие, состоящее в том, что в каждой коробке окажется один нечётный шар и один чётный, а m – число всех исходов, благоприятствующих событию А.

Найдём n – число всех исходов опыта. Выбрать 2 шара из 6-ти в I-ю коробку можно Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru способами. Из оставшихся 4 шаров выбрать 2 шара во II-ю коробку можно Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru способами. Оставшиеся после этого 2 шара попадут в III-ю коробку ( Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru ). Число всех исходов опыта равно Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . По формуле Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru вычислим Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Найдём m – число исходов, благоприятствующих событию А. Выбрать нечётный шар в I-ю коробку можно Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru способами, чётный – Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru способами. Следовательно, число всех благоприятствующих пар шаров для I-й коробки равно Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Обозначим сказанное схематично:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Аналогично найдём число благоприятствующих пар шаров для II-й коробки из оставшихся 4 шаров:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Для III-й коробки

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Тогда Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru , Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Искомая вероятность равна 0,4.

Задача 18. Три студента сдают экзамен. Для них приготовлены три билета: №1, №2, №3. Первый студент наудачу возьмёт любой билет, второй выберет наудачу один из двух оставшихся, третий заберёт оставшийся. Для каждого из студентов найти вероятность извлечь билет №1.

Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что соответственно 1-й, 2-й и 3-й студент извлечёт билет №1. Требуется найти Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Очевидно, что Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Найдём Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Первый студент взял один билет. Второму осталось два билета. Обозначим гипотезы:

Н1 – билет №1 уже извлечён; Н2 – билет №1 ещё не извлечён.

Н1, Н2 – полная группа событий ( сумма этих событий – достоверное событие и они не могут произойти одновременно). Следовательно, по формуле полной вероятности Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Очевидно, что Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru так как гипотеза Н2 означает что 1-й студент не взял билет №1. Итак, Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Найдём Р(А3). Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Уже вычислено Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . Условная вероятность Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru – это вероятность того, что 2-й студент не взял билет №1 при условии, что 1-й студент не взял билет №1, то есть вероятность не взять билет №1 из двух билетов, среди которых есть этот №1. Получаем Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru . В результате Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Все искомые вероятности найдены: Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 19. MN – средняя линия треугольника АВС, MN P АВ. На треугольник АВС наудачу поставлены три точки. Случайная величина Х равна числу точек, попавших на треугольник MBN. Построить ряд распределения этой случайной величины.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения х1 = 0, х2 = 1,

х3 = 2, х4 = 3. Найдем вероятность появления каждого из этих значений.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Так как MN – средняя линия D АВС, то Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru .

Вероятность того, что точка, наудачу поставленная на

D АВС, попадёт на D MВN равна Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Это испытание (наудачу ставим точку на D АВС) повторяем 3 раза. Вероятность того, что в n = 3 испытаниях событие (попадание точки на D MВN ) произойдёт ровно k раз вычислим по формуле Бернулли:

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

хk
pk Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Построим искомый ряд распределения .

Задача 20. Задан ряд распределения дискретной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и вероятность P(a < X < b).

хk –5 –2
pk 0,4 С 0,35 0,1

a = – 3, b = 6.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице. Следовательно, 0,4 + С + 0,35 + 0,1 = 1, С = 0,15.

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru Таким образом найдены

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 21. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х. Найти неизвестный параметр С, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru и вероятность P(a < X < b). Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Решение. Плотность распределения непрерывной случайной величины удовлетворяет условию Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

Задача 1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений - student2.ru

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Общие рекомендации студентам по работе над контрольной работой 3

Вопросы к экзамену по курсу “Высшая математика” 4

Литература 9

Задания для контрольных работ 9

Методические указания к решению типовых задач 23

Тема 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 23

Тема 2. Дифференциальное и интегральное исчисления 27

Тема 3. Функции нескольких переменных 34

Тема 4. Дифференциальные уравнения 35

Тема 5. Ряды 37

Тема 6. Теория вероятностей 40

Наши рекомендации