Глава i. функция и ее предел

Множества

1.Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.

Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита: глава i. функция и ее предел - student2.ru

Например, глава i. функция и ее предел - student2.ru – элемент глава i. функция и ее предел - student2.ru принадлежит множеству глава i. функция и ее предел - student2.ru ; глава i. функция и ее предел - student2.ru –элемент глава i. функция и ее предел - student2.ru не принадлежит множеству глава i. функция и ее предел - student2.ru ;

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так: глава i. функция и ее предел - student2.ru

Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество глава i. функция и ее предел - student2.ru состоит из трех чисел 1, 8, 6 ; глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество глава i. функция и ее предел - student2.ru состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Множество глава i. функция и ее предел - student2.ru называется подмножеством множества глава i. функция и ее предел - student2.ru , если каждый элемент множества глава i. функция и ее предел - student2.ru является элементом множества глава i. функция и ее предел - student2.ru . Обозначается подмножество так: глава i. функция и ее предел - student2.ru ( глава i. функция и ее предел - student2.ru включено в глава i. функция и ее предел - student2.ru ) или глава i. функция и ее предел - student2.ru (множество глава i. функция и ее предел - student2.ru включает в себя множество глава i. функция и ее предел - student2.ru ).

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru , то глава i. функция и ее предел - student2.ru , следовательно, говорят, что множества глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru равны илисовпадают.

Объединением (или суммой) множеств глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают глава i. функция и ее предел - student2.ru или глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Пересечением (или произведением) множеств глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству глава i. функция и ее предел - student2.ru и множеству глава i. функция и ее предел - student2.ru . Записывают глава i. функция и ее предел - student2.ru или глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Разностьюмножеств глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru называется совокупность тех элементов глава i. функция и ее предел - student2.ru , которые не содержатся в глава i. функция и ее предел - student2.ru . Записывают глава i. функция и ее предел - student2.ru .

2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:

глава i. функция и ее предел - student2.ru - следует, т.е. из предложения глава i. функция и ее предел - student2.ru следует предложение глава i. функция и ее предел - student2.ru ;

глава i. функция и ее предел - student2.ru - равносильно, т.е. глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru ;

глава i. функция и ее предел - student2.ru - для любого, для всякого;

глава i. функция и ее предел - student2.ru - существует, найдется;

глава i. функция и ее предел - student2.ru - имеет место, такое что;

глава i. функция и ее предел - student2.ru - соответствие.

Например, глава i. функция и ее предел - student2.ru – для любого элемента глава i. функция и ее предел - student2.ru из множества глава i. функция и ее предел - student2.ru имеет место предложение глава i. функция и ее предел - student2.ru ; глава i. функция и ее предел - student2.ru объединение множеств глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru .

3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Например:

глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество натуральных чисел;

глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество целых неотрицательных чисел;

глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество целых чисел;

глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество рациональных чисел;

глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Множество глава i. функция и ее предел - student2.ru содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.

Например:

глава i. функция и ее предел - student2.ru – ( конечная десятичная дробь); глава i. функция и ее предел - student2.ru – (бесконечная периодическая дробь).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.

Например, глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru .

4.Пусть глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru – действительные числа, причем глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

глава i. функция и ее предел - student2.ru – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

глава i. функция и ее предел - student2.ru – интервал (открытый промежуток);

  глава i. функция и ее предел - student2.ru – полуоткрытые интервалы;
  глава i. функция и ее предел - student2.ru
глава i. функция и ее предел - student2.ru – бесконечные интервалы;    
глава i. функция и ее предел - student2.ru  
глава i. функция и ее предел - student2.ru  
глава i. функция и ее предел - student2.ru  
         

Числа глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть точка глава i. функция и ее предел - student2.ru –любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки глава i. функция и ее предел - student2.ru называется любой интервал глава i. функция и ее предел - student2.ru , содержащий точку глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Интервал глава i. функция и ее предел - student2.ru , где глава i. функция и ее предел - student2.ru , называется глава i. функция и ее предел - student2.ru–окрестностью точкиглава i. функция и ее предел - student2.ru ,число глава i. функция и ее предел - student2.ru – центр интервала, число глава i. функция и ее предел - student2.ru – радиус интервала.

глава i. функция и ее предел - student2.ru

Если глава i. функция и ее предел - student2.ru , то выполняется неравенство глава i. функция и ее предел - student2.ru глава i. функция и ее предел - student2.ru

глава i. функция и ее предел - student2.ru глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Это означает попадание точки глава i. функция и ее предел - student2.ru в глава i. функция и ее предел - student2.ru – окрестность точки глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Понятие функции

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Определение. Если каждому элементу глава i. функция и ее предел - student2.ru соответствует единственный элемент глава i. функция и ее предел - student2.ru , то говорят, что на множестве глава i. функция и ее предел - student2.ru задана функция глава i. функция и ее предел - student2.ru ( глава i. функция и ее предел - student2.ru - знак функции).

Переменную глава i. функция и ее предел - student2.ru называют аргументом или независимой переменной, а переменную глава i. функция и ее предел - student2.ru – зависимой переменной от х; множество глава i. функция и ее предел - student2.ru – областью определения функции глава i. функция и ее предел - student2.ru , а множество глава i. функция и ее предел - student2.ru – множеством значений функции глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru – закон соответствия. глава i. функция и ее предел - student2.ru – множество значений аргумента, при которых формула глава i. функция и ее предел - student2.ru имеет смысл.

Кроме буквы глава i. функция и ее предел - student2.ru для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru и так далее.

глава i. функция и ее предел - student2.ru

Примеры.

1) глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru .

2) глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru .

3) глава i. функция и ее предел - student2.ru или глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru .

4) глава i. функция и ее предел - student2.ru , глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Если элементами множеств глава i. функция и ее предел - student2.ru и глава i. функция и ее предел - student2.ru являются действительные числа, то функция называется числовой.

Частное значение функции при глава i. функция и ее предел - student2.ru обозначают так: глава i. функция и ее предел - student2.ru .

Например, глава i. функция и ее предел - student2.ru глава i. функция и ее предел - student2.ru глава i. функция и ее предел - student2.ru

График функции глава i. функция и ее предел - student2.ru – это множество точек плоскости с координатами глава i. функция и ее предел - student2.ru , где глава i. функция и ее предел - student2.ru , для каждой из которых глава i. функция и ее предел - student2.ru является значением аргумента, а глава i. функция и ее предел - student2.ru является соответствующим значением функции.

Способы задания функции.

1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.

Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.

2.Графический: задается график.

3.Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.

4.Словесный: функция описывается правилом ее составления.

Например, функция Дирихле глава i. функция и ее предел - student2.ru , если глава i. функция и ее предел - student2.ru

глава i. функция и ее предел - student2.ru , если глава i. функция и ее предел - student2.ru – иррациональное.

Наши рекомендации