Образец выполнения контрольной работы №7

Задание 1. Исследовать на сходимость, применяя признаки сравнения

а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Решение: Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , откуда Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru расходится, значит, расходится и больший ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Решение: Учитывая, что и числитель, и знаменатель дроби Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

неограниченно растут при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Так как ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru сходится, то сходится исходный ряд.

в) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

решение:

Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru сходится, значит, сходится и исходный ряд.

Задание 2. Исследовать на сходимость ряды, применяя, признак Коши (радикальный).

а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение:

а) Учитывая, что

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ,

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , получим

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Исходный ряд сходится по признаку Коши.

б) Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то остается найти пределы Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

1) Поскольку Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , где Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то по правилу Лопиталя Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , откуда Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (следствие из 2-го замечательного предела), то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Отсюда

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , и, значит, исходный ряд сходится.

Задание 3. Исследовать на сходимость, применяя признак Даламбера.

а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение: а) Преобразуем выражение Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru :

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Значит, Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ,

И исходный ряд сходится по признаку Даламбера.

б) Поскольку

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (2-й замечательный предел), и, значит, исходный ряд расходится.

Задание 4.Исследовать на сходимость, применяя интегральный признак Коши. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Решение: Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Проверим применимость интегрального признака Коши. Очевидно, что функция Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru непрерывна и принимает только положительные значения на промежутке Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Убедимся, что Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru монотонно убывает на этом промежутке.

Пусть Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Тогда Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , откуда Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Итак, функция Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости.

Найдем неопределенный интеграл Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru :

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Первообразной для функции Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru является, например, функция Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Вычисляя несобственный интеграл Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , получим

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Так как несобственный интеграл Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru расходится, то расходится и ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 5.Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ; б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение:

а) 1) ряд из модулей: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ;

2) исследуем ряд из модулей с помощью признака сравнения (предельного):

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru - сходящийся ряд.

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru тоже сходится;

3) Исходный ряд сходится абсолютно.

б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

1) ряд из модулей: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru является расходящимся (гармонический ряд);

2) проверим условия признака Лейбница:

1. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru - выполняется;

2. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru - выполняется.

3) т.к. оба условия признака Лейбница выполнены, ряд исходный сходится условно.

Задание 6.определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости.

а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение:

а) Воспользуемся признаком Коши:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

при всех Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Следовательно, ряд сходится в каждой точке числовой прямой Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Применяем признак Даламбера:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .) Отсюда следует, что при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (т.е. при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ) ряд сходится абсолютно, при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru расходится. Таким образом, интервал Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru -интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т.е. в точках Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

При Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru получим знакочередующийся ряд

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

При Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru получим ряд Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Этот ряд расходится по той же причине, так как

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Итак, область сходимости данного ряда - интервал (-1,1).

Задание 7.

Разложить в ряд по степеням Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru функцию Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение

Продифференцируем функцию Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru раз: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Находим значения функций: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru в точке Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , а значение Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru определяем в точке Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (см. остаточный член в форме Лагранжа). Получаем: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Находим остаточный член:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , т.е. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru при любом Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , а Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru - величина ограниченная, то Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Следовательно, функцию Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru можно представить в виде суммы ряда Маклорена Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 8.Проинтегрировать, применяя разложение в ряд. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ruс точностью до 0,0001

Решение: Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, полагая в нем Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Этот ряд сходится к биному Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Интегрируя в пределах от 0 до Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , найдем Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося сходящего ряда (с одним лишним знаком): Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т.е. меньше Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 9.Решить уравнение с помощью степного ряда.

Пример 1. Найти решение уравнения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ,

если Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru при Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение. Полагаем Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Отсюда, дифференцируя, получим:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Подставляя Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru в данное уравнение, приходим к тождеству

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и т.д.

Вообще,

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Следовательно,

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

где Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 2. Найти решения уравнения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение: Из уравнения начальных условий находим Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Искомое решение имеет вид

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 10. Вычислить с точностью до 0,001: а) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru б) Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение: а) Возьмем ряд для функции Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

который сходится к Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru в интервале Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , и, полагая Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , получим ряд для вычисления Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с любой точностью:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближенного значения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

б) Преобразуем, данный корень Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и принимаем биномиальный ряд, полагая Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Следовательно, Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 11. Вычислить двойной интеграл Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru по области, ограниченной линиями

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение: Указанная область ограничена правыми ветвями парабол Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и вертикальными прямыми Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Так как область D является правильной в направлении оси ОY, приведем двойной интеграл к повторному по формуле

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ( внешнее интегрирование ведется по переменной х, а внутреннее – по y).

 
  Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 12. Вычислить двойной интеграл, используя переход к полярным координатам Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение. Область интегрирования D ограничена полуокружностями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru одной окружности, Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Преобразуем уравнения границ к полярным координатам .Подставим формулы перехода Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru в уравнение окружности. Так как Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , то уравнение окружности Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru преобразуется к виду Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Поэтому областью D* является область, снизу ограниченная осью Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , сверху косинусоидой Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , причем Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

а
Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 13. Вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение:Построим данную фигуру (рис. 25).

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Найдем аналитически т. пересечения линий:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

В области D справедливы неравенства: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Искомая площадь: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 14.

Вычислить объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , плоскостями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение: Данное тело ограничено координатными плоскостями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (ХОZ), Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru (ХОУ), плоскостью Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , параллельной плоскости ХОZ, проходящей через т. Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и параболическим цилиндром Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru . Построим данное тело и его проекцию.

Искомый объем Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 15. Вычислить массу материальной пластинки, принадлежащей плоскости Оху, и ограниченной линиями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , если её поверхностная плотность Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение.

Напомним, что из физического смысла интеграла следует, что масса m материальной пластинки D вычисляется по формуле:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ,

где Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru плотность, с которой распределена масса.

Построим линии, ограничивающие пластинку:

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru кв. парабола с осью симметрии Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru ;

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru прямая, походящая через т. (0; -1); (1;0)

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Точка пересечения линий: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Пластинка АВС – правильная область в направлении оси Ох,

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Задание 16. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , если область интегрирования V ограничена поверхностями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Решение.Указанная область V ограничена снизу восходящим параболоидом вращения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с вершиной в точке (0,0,0), сверху - нисходящим параболоидом вращения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с вершиной (0,0,8) (рис.2.3.).

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Найдем линию пересечения поверхностей, исключив переменную z из уравнений параболоидов: Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Имеем окружность Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru в плоскости z=4. Таким образом, проекция области V на плоскость Oxy есть окружность Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , для точек которой верны неравенства Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Значит,

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 17. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную поверхностями Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Решение. Тело представляет полуконус Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с осью симметрии OY, ограниченный плоскостью y=2.

Ввиду симметрии тела относительно OY координаты Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , а

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru Тогда

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Значит центр масс С ( Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Задание 18.

Вычислить момент инерции относительно оси ОY однородного тела V, ограниченного поверхностью Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru и плоскостью y=1, плотность Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

принять равной 1.

Решение. Моменты инерции Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru относительно координатных осей вычисляются согласно формулам Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru , здесь Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru - объемная плотность .

Тело V ограничено параболоидом вращения Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru с осью симметрии ОY, отсеченным плоскостью y=1.

Тогда искомый момент

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru .

Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №7 - student2.ru

Контрольная работа №8

Наши рекомендации