Образец выполнения контрольной работы №7
Задание 1. Исследовать на сходимость, применяя признаки сравнения
а)
Решение: Так как , то , откуда . Ряд расходится, значит, расходится и больший ряд .
б)
Решение: Учитывая, что и числитель, и знаменатель дроби
неограниченно растут при , запишем дробь, составленную из эквивалентных им выражений:
.
Так как ряд сходится, то сходится исходный ряд.
в)
решение:
Так как , то . Ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд.
Задание 2. Исследовать на сходимость ряды, применяя, признак Коши (радикальный).
а) . б) .
Решение:
а) Учитывая, что
,
и , получим
.
Исходный ряд сходится по признаку Коши.
б) Так как , то остается найти пределы и .
1) Поскольку , где , то по правилу Лопиталя , откуда (следствие из 2-го замечательного предела), то . Отсюда
, и, значит, исходный ряд сходится.
Задание 3. Исследовать на сходимость, применяя признак Даламбера.
а) . б) .
Решение: а) Преобразуем выражение :
.
Так как при , то и при .
Значит, ,
И исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
б) Поскольку
то (2-й замечательный предел), и, значит, исходный ряд расходится.
Задание 4.Исследовать на сходимость, применяя интегральный признак Коши.
Решение: Так как , то . Проверим применимость интегрального признака Коши. Очевидно, что функция непрерывна и принимает только положительные значения на промежутке . Убедимся, что монотонно убывает на этом промежутке.
Пусть . Тогда и , откуда .
Итак, функция положительна, непрерывна и монотонно убывает на промежутке , значит, для использования данного ряда на сходимость можно применять интегральный признак сходимости.
Найдем неопределенный интеграл :
.
Первообразной для функции является, например, функция . Вычисляя несобственный интеграл , получим
.
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .
Задание 5.Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.
а) ; б) .
Решение:
а) 1) ряд из модулей: ;
2) исследуем ряд из модулей с помощью признака сравнения (предельного):
- сходящийся ряд.
ряд тоже сходится;
3) Исходный ряд сходится абсолютно.
б)
1) ряд из модулей: является расходящимся (гармонический ряд);
2) проверим условия признака Лейбница:
1. - выполняется;
2. - выполняется.
3) т.к. оба условия признака Лейбница выполнены, ряд исходный сходится условно.
Задание 6.определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости.
а) . б) .
Решение:
а) Воспользуемся признаком Коши:
при всех . Следовательно, ряд сходится в каждой точке числовой прямой .
б) .
Применяем признак Даламбера:
.
(Этот же результат можно получить, применяя признак Коши .) Отсюда следует, что при (т.е. при ) ряд сходится абсолютно, при расходится. Таким образом, интервал -интервал сходимости данного ряда. Исследуем ряд на сходимость в граничных точках этого интервала, т.е. в точках и
При получим знакочередующийся ряд
Этот ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости .
При получим ряд
Этот ряд расходится по той же причине, так как
Итак, область сходимости данного ряда - интервал (-1,1).
Задание 7.
Разложить в ряд по степеням функцию .
Решение
Продифференцируем функцию раз: .
Находим значения функций: в точке , а значение определяем в точке (см. остаточный член в форме Лагранжа). Получаем:
Находим остаточный член:
, т.е. .
Так как при любом , а - величина ограниченная, то . Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена
Задание 8.Проинтегрировать, применяя разложение в ряд.
с точностью до 0,0001
Решение: Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, полагая в нем
Этот ряд сходится к биному при . Интегрируя в пределах от 0 до , найдем
Вычислим несколько последовательных первых членов полученного знакочередующегося сходящего ряда (с одним лишним знаком): .
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда .
Ошибка этого приближенного значения меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т.е. меньше .
Задание 9.Решить уравнение с помощью степного ряда.
Пример 1. Найти решение уравнения ,
если при .
Решение. Полагаем
Отсюда, дифференцируя, получим:
Подставляя и в данное уравнение, приходим к тождеству
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь
и т.д.
Вообще,
.
Следовательно,
где и .
Задание 2. Найти решения уравнения .
Решение: Из уравнения начальных условий находим . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем
. Искомое решение имеет вид
.
Задание 10. Вычислить с точностью до 0,001: а) б) .
Решение: а) Возьмем ряд для функции .
который сходится к в интервале , и, полагая , получим ряд для вычисления с любой точностью:
Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближенного значения с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда
.
б) Преобразуем, данный корень и принимаем биномиальный ряд, полагая , .
.
Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося сходящегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычисляем несколько последовательных первых членов ряда: .
Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше . Следовательно, .
Задание 11. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями
.
Решение: Указанная область ограничена правыми ветвями парабол и вертикальными прямыми . Так как область D является правильной в направлении оси ОY, приведем двойной интеграл к повторному по формуле
( внешнее интегрирование ведется по переменной х, а внутреннее – по y).
Задание 12. Вычислить двойной интеграл, используя переход к полярным координатам .
Решение. Область интегрирования D ограничена полуокружностями одной окружности, .
Преобразуем уравнения границ к полярным координатам .Подставим формулы перехода в уравнение окружности. Так как , то уравнение окружности преобразуется к виду . Поэтому областью D* является область, снизу ограниченная осью , сверху косинусоидой , причем .
|
Задание 13. Вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями ; .
Решение:Построим данную фигуру (рис. 25).
Найдем аналитически т. пересечения линий:
.
В области D справедливы неравенства: .
Искомая площадь:
Задание 14.
Вычислить объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью , плоскостями .
Решение: Данное тело ограничено координатными плоскостями (ХОZ), (ХОУ), плоскостью , параллельной плоскости ХОZ, проходящей через т. и параболическим цилиндром . Построим данное тело и его проекцию.
Искомый объем .
Задание 15. Вычислить массу материальной пластинки, принадлежащей плоскости Оху, и ограниченной линиями , если её поверхностная плотность .
Решение.
Напомним, что из физического смысла интеграла следует, что масса m материальной пластинки D вычисляется по формуле:
,
где плотность, с которой распределена масса.
Построим линии, ограничивающие пластинку:
кв. парабола с осью симметрии ;
прямая, походящая через т. (0; -1); (1;0)
Точка пересечения линий:
Пластинка АВС – правильная область в направлении оси Ох,
Задание 16. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область интегрирования V ограничена поверхностями .
Решение.Указанная область V ограничена снизу восходящим параболоидом вращения с вершиной в точке (0,0,0), сверху - нисходящим параболоидом вращения с вершиной (0,0,8) (рис.2.3.).
Найдем линию пересечения поверхностей, исключив переменную z из уравнений параболоидов: .
Имеем окружность в плоскости z=4. Таким образом, проекция области V на плоскость Oxy есть окружность , для точек которой верны неравенства .
Значит,
.
Задание 17. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную поверхностями
Решение. Тело представляет полуконус с осью симметрии OY, ограниченный плоскостью y=2.
Ввиду симметрии тела относительно OY координаты , а
.
Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам Тогда
Значит центр масс С ( .
Задание 18.
Вычислить момент инерции относительно оси ОY однородного тела V, ограниченного поверхностью и плоскостью y=1, плотность
принять равной 1.
Решение. Моменты инерции относительно координатных осей вычисляются согласно формулам
, здесь - объемная плотность .
Тело V ограничено параболоидом вращения с осью симметрии ОY, отсеченным плоскостью y=1.
Тогда искомый момент
.
Перейдем к цилиндрическим координатам по формулам
Контрольная работа №8