Образец выполнения контрольной работы №1.

Задание 1. Найти матрицу, обратную к матрице

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Решение:

1) Вычислим определитель матрицы А:

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

2) Обратная матрица А-1 вычисляется по формуле Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , где Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

б) Составим матрицу алгебраических дополнений

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

в) Транспонируем матрицу Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , получим Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

г) Вычисляем обратную матрицу

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

д) Для проверки умножим А-1 на А,

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Ответ: Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Доказать ее совместимость и решить тремя способами:

1. методом Гаусса;

2. по формулам Крамера;

3. средствами матричного исчисления.

Решение:

1. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и осуществляется в два этапа:

а) прямой ход заключается в приведении системы к ступенчатому (треугольному) виду (при этом последнее уравнение системы имеет одну неизвестную); б) Обратный ход заключается в последовательном определении неизвестных из уравнений системы.

С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы сведем ее к треугольному виду. Если в процессе СЛАУ методом Гаусса какая-либо строка примет вид 0=0, это будет свидетельствовать о том, что СЛАУ имеет бесконечное множество решений, если же возникает строка 0 = const, то система несовместна.

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru . Ответ: (0,1,1).

2. Формулы Крамера.

При Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru СЛАУ совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , где ∆ - определитель матрицы А системы, а ∆х, ∆у, ∆z – определители для неизвестных (х,у,z), полученные заменой соответствующего столбца, составленного из коэффициентов при неизвестных, на столбец свободных членов.

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru . Ответ: (0,1,1).

3. Матричный метод.

СЛАУ удобно записать в матричной форме А·Х=С, где А – матрица системы, Х – столбец неизвестных членов, С – столбец свободных членов.

Из матричного уравнения следует Х = А-1С, (*) где А-1 – обратная матрица, которая вычисляется по формуле Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , где Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru – транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений.

Вычислим определитель матрицы А (смотрите выше) Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

а) Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru ; Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

б) Составим матрицу алгебраических дополнений

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

в) Транспонируем матрицу Аij и получим АijТ

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

г) Вычисляем обратную матрицу

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Согласно формуле (*) столбец решений

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Таким образом, СЛАУ: х = 0, у = 1, z = 1, что подтверждается в ходе проверки (подстановки полученных значений в каждое уравнение системы).

Задание 3. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1;2), B(5;-6;2), С(1;3;-1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение: Площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , то есть Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru . Имеем: Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru . Тогда векторное произведение этих векторов равно Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru (*).

Известно, что площадь треугольника равна Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru (**).

Из равенств (*) и (**) и определим высоту h

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru . Ответ: h = 5.

Задание 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

А1 (2; -1; 1), А2 (5; 5; 4), А3 (3; 2; 3), А4 (4; 1; 3). Найти:

1) длину ребер A1A2; A1A3; A1A4;

2) угол между ребрами: A1A2 и A1A4;

3) площадь грани A1A2А3;

4) объем пирамиды;

5) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2А3.

Решение:

1) Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru

2) Пусть α угол между ребрами A1A2 и A1A4. Скалярное произведение векторов Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru запишется в следующем виде:

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

3) Площадь грани A1A2А3 вычислим, исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника A1A2А3 равна половине площади треугольника Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

4) Объем пирамиды численно равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, то есть Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru и Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

5) Известно, что Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru , где S – площадь основания (грань A1A2А3) пирамиды, а h – высота пирамиды, проведенная из вершины А4 на грань A1A2А3. Образец выполнения контрольной работы №1. - student2.ru .

Контрольная работа №2

Наши рекомендации