Образец выполнения контрольной работы

Парная регресия и корреляция

Изучается зависимость стоимости квартиры (Y, тыс.$) от ее полезной площади (Х, м²)

x
Y

Требуется:

1) Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2) Найти параметры уравнения линейной регрессии МНК и дать ему экономическую интерпретацию.

3) Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4) Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05) и с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

5) Проверить выполнимость предпосылок МНК.

6) Рассчитать параметры уравнения степенной и гиперболической регрессии. Дать интерпретацию уравнению степенной регрессии

7) Рассчитать индексы корреляции и детерминации.

8) Оценить значимость построенных регрессий с помощью F-критерия Фишера и средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы.

9) С помощью сравнения основных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии и сделать вывод.

10) Осуществить прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости α=0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

1)Построим поле корреляции.

По виду поля корреляции можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости Y по х между двумя рассматриваемыми переменными. Но возможно и построение степенной модели, показательной или гиперболической регрессий.

2) Построим линейную модель парной регрессии .

Рабочая таблица. (При составлении этой таблицы можно воспользоваться математическими функциями ППП Excel)

N	х	Y	x2	Xy	y2
						35,03	2,97	8,82	0,08
						29,27	-3,27	10,70	0,12
						40,07	-0,07	0,0049	0,0017
						46,55	-1,55	2,40	0,03
						45,83	5,17	26,73	0,10
						47,99	1,01	1,02	0,02
						27,11	6,89	47,47	0,20
						35,75	-0,75	0,56	0,02
						45,83	-3,83	14,67	0,09
						29,99	-5,99	35,88	0,25
Сумма							0,58	148,25	0,91

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением полезной площади квартиры на 1м² стоимость увеличивается в среднем на 0,72 тыс.$.

3)Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Можно сказать, что связь между полезной площадью квартиры Х и ее стоимостью У прямая, достаточно сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R_yx=r²_yx=0,794

Вариация результата У (стоимость квартиры) на 79,4% объясняется вариацией фактора Х (полезной площадью). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 20,6%.

4)Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерий Фишера:

для α=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8, где m-число объясняющих факторов в модели.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 9,1%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

Проверим предпосылки МНК.

а) Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю.

Вычислим среднее значение ряда остатков.

.

Так как , то модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

б) Проверка свойства гомоскедастичности

Расположим значения факторного признака в порядке возрастания.

Разделим совокупность наблюдений на две группы и для каждой группы с помощью программы Анализ данных в EXCEL, инструмент Регрессия определим параметры уравнений регрессий и остаточные суммы квадратов.

Таблица 2.4

Расчётные значения

	Уравнение регрессии	Остаток
1 группа
2 группа

Расчетный критерий равен: .

Табличное значение F-критерия с и степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 равно 6,39.

Величина не превышает табличное значение F-критерия, следовательно, свойство гомоскедастичности выполняется.

в) Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. При n=10 и уровне значимости 5%, , .

Поскольку , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.

г) Случайные отклонения далжны быть независимы от объясняющих переменных.

Так как , то

д) Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения осуществим с помощью R/S-критерия. формуле:

.

Расчетное значение R/S-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения).

Нижняя и верхняя границы отношения при уровне значимости равны соответственно 2,67 и 3,57.

Расчетное значение отношения попадает в интервал между критическими границами, следовательно, с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения принимается.