Расчет статически неопределимых систем

Статически неопределимой системой называется система, в ко­торой силы в стержнях или опорные реакции не могут быть найдены из уравнений статики.

Для их определения требуются дополнительные уравнения, по­лучаемые из рассмотрения упругих деформаций и отыскания геомет­рической связи между деформациями и перемещениями.
Уравнения статики (рисунок 2.37, а).

Имеем в двух уравнениях статики 3 неизвестных. Система один раз статически неопределимая.

Составляем уравнения деформаций (рисунок 2.37, б).

Составляем уравнения совместимости деформации

Решение полученных уравнений

подставляем в уравнение статики

умножим обе части уравнения на b

откуда

Подставив в уравнение моментов значение , найдем реакцию

Вывод:

силы в стержнях статически неопределимых систем определя­ются из уравнений деформаций и поэтому зависят от деформаций, т.е. от материала стержней, их длин и площадей поперечных сечений.

Рисунок 2.37

Внутренние силы распределяются между стержнями пропорци­онально их жесткостям, а при одинаковых материалах и длинах про­порционально их площадям.

Пусть: Е₁ = Е₂, l₁ = l₂, b = 2а, с = 3а;

Силы в стержнях статически неопределимых систем могут быть найде­ны лишь при условии, что отношение площадей сечений заранее известны.

При подборе сечений необходимо заранее задать отношение площадей

Изменение какой-либо площади нарушает это соотношение и ве­дет к изменению сил в стержнях, а, следовательно, к перерасчету.

Например, пусть: 1)

2) и т.д.

Любая причина, оказывающая влияние на величину упругих де­формаций, ведет к появлению добавочных сил в статически неопре­делимых системах. Например, изменение температуры, неточность изготовления или монтажа и т.д.

Температурные напряжения в статически неопределимых системах

Стержень защемлен двумя концами и подвергается нагреву от тем­пературы до ; (рисунок 2.38).

Заделки А и В препятствуют перемещению концов. Поэтому при температурном удлинении он будет оказывать давление на опорные поверхности. Это приводит к возникновению сил F_AZ и F_BZ.

Рисунок 2.38

1) Уравнения статики:

Задача статически неопределимая.

2) Уравнение деформаций:

удлинение от изменения темпе­ратуры Δt при условии свобод­ного конца где 1/град - коэф­фициент линейного расширения стали; укорочение от действия силы реакции

Наличие двух заделок исключает перемещение, это значит:

или

Сила, возникающая в стержне от нагрева

Напряжение в стержне при его нагреве на 40° будет:

Н/мм².

Величина температурных напряжений может быть значительной.

Для их уменьшения в конструкциях предусматривают специаль­ные температурные зазоры, так при нагреве стержня l = 1 м на 100°С:

мм.