Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

Алгоритм метода перемещений:

1. Расчет степени кинематической неопределимости для заданной системы:

n=n_угл+n_лин

где n_угл – количество углов поворота жестких узлов (равно числу жестких узлов в системе);

n_лин – количество возможных линейных перемещений.

При определении n_лин во все жесткие узлы и опоры заданной системы устанавливают шарниры и определяют число линейных перемещений на базе известной формулы кинематического анализа:

n_лин =3Д–2Ш–С₀

2. Выбор основной системы, которая для данного метода может быть только одна.

3. Составление системы канонических уравнений.

4. Построение эпюр изгибающих моментов от введенных единичных перемещений и от заданной внешней нагрузки. Эпюры строятся с помощью приведенной ниже таблицы эпюр для метода перемещений.

5. Определение коэффициентов канонических уравнений (путем расчета реакций вовведенных для основной системы связей из уравнений статики).

6. Решение системы полученных уравнений матричным способом.

7. Построение эпюр внутренних усилий.

8. Проверка точности выполненного расчета (статическим или кинематическим способами).

Статический способ заключается в определении из полученных эпюр внутренних усилий реакций в опорах заданной статически неопределимых систем и проверки равенства нулю, составленных уравнений равновесия (проекции всех сил на оси X и Y).

Кинематический способ заключается в построении единичной эпюры изгибающих моментов в основной системе метода сил и умножения ее на итоговую эпюру изгибающих моментов, полученной методом перемещений. Полученное произведение должно равняться нулю.

Таблица эпюр изгибающих моментов стандартных схем балок для метода перемещений

С. Задача

Построить эпюры внутренних усилий для статически неопределимой системы методом перемещений.

Статически неопределимая система

1) Определяем степень статической неопределимости системы и строим основную систему:

1.1) Определяем степень статической неопределимости системы:

n=n_угл–n_лин=2+1=3

n_угл – число жестких узлов. В них вводят заделки, которые лишают узел возможности поворачиваться (одной степени свободы);

n_лин – число неизвестных линейных перемещений. Во все жесткие узлы и опоры (заделки) вводятся шарниры. Число неизвестных линейных перемещений равно число опорных связей, которые необходимо ввести в систему, чтобы она стала геометрически неизменяемой.

Система для определения числа линейных перемещений

1.2) Выбираем основную систему:

Основная система метода перемещений

2) Составляем систему канонических уравнений:

3) Строим эпюру Мр (грузовую эпюру):

Грузовая эпюра изгибающих моментов

Вычисляются реакции в опорах заданной системы, ось которых совпадает с осью неизвестного перемещения Z₃.

4) Строим эпюры изгибающих моментов от единичных сил (для угловых перемещений эпюры строятся для балок, которые сходятся в рассматриваемом узле; для линейных перемещений – для всех деформируемых балок):

Единичные эпюры изгибающих моментов

5) Определяем главные и боковые коэффициенты:

Первая цифра в обозначение коэффициента обозначает искомую реакцию (момент или сила) в зависимости от того какое рассматривается единичное перемещение (поворот или линейное перемещение); вторая цифра – какая единичная эпюра рассматривается.

Вырезание узлов

6) Определяем свободные коэффициенты:

Вырезание узлов

7) Преобразуем систему канонических уравнений:

8) Решаем систему канонических уравнений матричным методом:

9) Умножаем каждую единичную эпюру на соответствующее значение перемещенияZ

Эпюры изгибающих моментов от искомых усилий

Необходимые промежуточные значения на эпюрах определяются через подобие треугольников или через угол.

10) Строим итоговую эпюру изгибающих моментов М= М₁+М₂+М₃+Мр:

Итоговая эпюра изгибающих моментов

11) Строим эпюру поперечных сил (Q):

Итоговая эпюра поперечных сил

12) Строим эпюру продольных сил (N):

Вырезание узлов

Итоговая эпюра продольных сил

12) Проверка:

Заданная система