Определение скалярного произведения и его свойства

Пусть даны два вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , где j – угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ;

б) если Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ^ Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru (ортогональные вектора), то Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = 0;

в) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ;

г) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ;

д) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , где λ – любое число.

Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, 1, 1) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, -5, 1).

Из определения имеем Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

б) Даны вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (m, 3, 4) и вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (4, m, -7). При каких значениях m вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ортогонален вектору Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ?

Из условий ортогональности имеем: Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = 4m + 3m -28 = 0,

7m = 28, m = 4.

в) Найти Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , если Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ^ Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Из свойств скалярного произведения имеем: Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ,

так как Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ^ Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , тогда

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

г) Определить угол между векторами Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (1, 2, 3) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (0, 4, -2).

Так как Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , то Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru . Из координатного представления векторов находим Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru 0+8-6=2, по формуле (4.1) имеем Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru тогда Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

5.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Даны векторы Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (3, -2, -4), Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (6, -2, 3). Найти ( Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru )( Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ).

Задача 2) Вычислить работу силы Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (1, 2, 1) при перемещении материальной точки из положения М1(-1, 2, 0) в положение М2(2, 1, 3). Напомним, что работа вектора силы Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru равна скалярному произведению вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru на вектор перемещения Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Задача 3) Найти координаты вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , если он коллинеарен вектору

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru равно 3, т.е. Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение векторного произведения

Если вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru заданы в координатной форме Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru то их векторное произведение определяется по формуле:

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ,

где Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru – орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Пример. Найдем векторное произведение векторов Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Из приведенной формулы имеем

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Свойства векторного произведения

Отметим следующие свойства векторного произведения:

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru а) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ;

б) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru как на сторонах;

в) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ;

г) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , если либо Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , либо Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , либо вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru коллинеарны;

д) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , где λ – любое число;

е) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.

Примеры.

а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (3, 6, -2) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (-2, 3, 6).

Имеем

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Тогда Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).

На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ruТак как Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru то

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Следовательно, Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , а Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru + 3 Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и 3 Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru + Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , если Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru а угол между векторами Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru равен p/6.

Заметим, что Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru для любого вектора. Следовательно, Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.

г) Известно, что вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ортогонален векторам Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (3, 2, 1) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, 3, 1), а | Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru | = 3. Найти вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Так как вектор Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ортогонален векторам Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru и, Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru то он коллинеарен вектору Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru . Имеем

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

Таким образом, Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru Следовательно, Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи: Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru

6.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Даны векторы Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (-1, 3, 2) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, 1, 1). Найти координаты векторов: 1) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru ; 2) Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, -1, 2), В(5, -6,2), С(1, 3, -1) найти высоту h = Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru .

Задача 3) Найти координаты вектора Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru , если он ортогонален векторам

Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (2, 1, -3) и Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию Определение скалярного произведения и его свойства - student2.ru (1, -7, 2)=10.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Наши рекомендации