С постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Уравнение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , где p, q – заданные числа называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное ДУ второго порядка без правой части С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , соответствующее ЛНДУ, называется линейным однородным дифференциальным уравнением(ЛОДУ).

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общим решением ЛНДУ является сумма его общего решения уоо соответствующего ЛОДУ и произвольного частного решения учн, то есть у = учн + уоо.

Рассмотрим нахождение общего решения уоо и частного решения учн.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Если С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru и С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru – корни характеристического уравнения С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru (для этого необходимо С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru заменить на С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru – на С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru – на1), то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (табл. 1):

Общее решение линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка

Таблица 1.

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru Корни С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru и С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru Общее решение ЛОДУ
1) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru действительные и различные ( С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru
2) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru действительные и равные ( С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru
3) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru комплексные С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru (а и b – действительные числа) С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru

Пример 14. Найти общее решение уравнения С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Решение. Составим характеристическое уравнение С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru и найдем его корни: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ; С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ; С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Т.к. С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru и С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Пример 15. Найти общее решение уравнения С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru – комплексно-сопряженные корни, С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Общее решение имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , отсюда С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Пример 16. Найти общее решение уравнения С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Найдем его корни: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Тогда С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения

Рассмотрим следующие случаи:

1) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , где P(x)-многочлен.

Тогда неоднородное уравнение имеет частное решение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , где Q(x)-многочлен той же степени, что и P(x), k-кратность корня характеристического уравнения, равного m(то есть сколько корней характеристического уравнения равно m).

Неизвестные коэффициенты многочлена Q(x) находим с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Это правило верно и при m=0, когда правая часть есть многочлен. В частных случаях P(x) может быть и постоянной величиной (числом).

2) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Если числа С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Если числа С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Если a=0 или b=0, решение всё равно следует искать в общем виде.

3) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , где P1(x) и P2(x) –многочлены.

Если числа m С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Если числа С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Q1(x) и Q2(x)-многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов P1(x) и P2(x)

Замечание. Частное решение ЛНДУ имеет тот же вид, что и специальная правая часть, но если число С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru является корнем характеристического уравнения кратности r, то в частном решении присутствует множитель С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Немногим более сложные виды специальной правой части рекомендуем разобрать самостоятельно.

Пример 17. Решить уравнение С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru

Решение.Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка со специальной правой частью С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ( С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ) Соответствующее однородное уравнение имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Составим характеристическое уравнение С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru и найдем его корни: С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Найдем частное решение ЛНДУ. Т.к. С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , и число С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (совпадает с С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ), то частное решение будем искать в виде С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Для отыскания неопределенного коэффициента А подставим С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru в данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно вычислив С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Получаем равенство

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , откуда находим С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru . Таким образом С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Так как. общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , то окончательно получаем С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Теперь подставим начальные условия в полученное решение, получим

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ,

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru ,

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Решив систему, получаем С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru , С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,

С постоянными коэффициентами и специальной правой частью - student2.ru .

Наши рекомендации