Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением.

Для изображения векторных величин служат геометрические векторы.Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Координатами вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru в прямоугольной системе координат Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru называются проекции Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на оси координат. Запись Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru означает, что вектор Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru имеет координаты Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , где Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , то

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Тогда модуль вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru находится по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначают: ( Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ) или Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .По определению

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , где Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Пусть векторы заданы аналитически:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Векторным произведением вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на вектор Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru называется вектор, обозначаемый символом Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru или Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , определяемый условиями:

1) модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

2) этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами;

3) направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru и Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru составляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru кратчайший поворот от вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru к вектору Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru происходит против часовой стрелки.)

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Пусть даны два вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru и Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru . Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Смешанным произведениемтрех векторов Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru называется число, равное скалярному произведению вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на вектор Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , т.е. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Если векторы Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru заданы своими прямоугольными координатами Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru три данные точки, не лежащие на одной прямой, а Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru произвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru имеет вид

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

и общего уравнения плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

где Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru - вектор нормали к плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru Найти:

1) угол между ребрами Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru и Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

2) площадь грани Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

3) объем пирамиды Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

4) длину высоты, опущенной из вершины Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на грань Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

5) угол между ребром Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru и гранью Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на грань Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Решение

А4   А2   В А1А3 Рис. 2 1) Угол между ребрами Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru и Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , найдем координаты векторов Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru тогда косинус угла между векторами Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

2) Площадь грани Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , тогда площадь треугольника находим по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Найдем векторное произведение векторов

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

модуль векторного произведения равен

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

откуда находим площадь треугольника

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

так как выше найдены координаты векторов

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

подставим координаты векторов в формулу, получим

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

4) Для нахождения длины высотыh, опущенной из вершины Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru на грань Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru применим формулу

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

откуда находим

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

5) Уравнение прямой Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru находим по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru :

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Для нахождения уравнения плоскости Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru используем уравнение плоскости, проходящей через три точки

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Подставим координаты точек в уравнение, получим

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

или

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

в нашем случае

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

6) Общее уравнение плоскости Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru :

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru ,

нормальный вектор плоскости Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Уравнение высоты Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru : Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru .

В нашем случае Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru , тогда уравнение высоты имеет вид

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве - student2.ru

Краткое содержание (программа) курса

Элементы линейной алгебры

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Наши рекомендации