Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов

Как правило, в экспериментах задается значение некоторой величины Х и измеряется значение некоторой другой величины У связанной с Хфункциональной зависимостью, вид которой не известен. В результате получают таблично заданную функцию Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru . Аналитический вид этой функции неизвестен.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет построить аналитическое выражение функции Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru (теоретическую кривую) по опытным данным. В соответствии с МНК теоретическая кривая Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru должна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений ее ординат от экспериментальных данных в опытных точках была минимальной.

Математически эта задача формулируется следующим образом:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

Как правило, вид теоретической кривой выбирается в виде полинома

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ,

тогда (8.6.1.) записывается так:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

В силу квадратичности функционала Lотносительно коэффициентов Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru и неотрицательности существует единственный минимум. Условия экстремума Lпозволяют получить систему m уравнений для вычисления коэффициентов Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru . Эти уравнения называются системой нормальных уравнений:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

МНК особенно удобен для использования в матричной форме.

Пусть проведен эксперимент в котором получено n пар значений Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru и Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; теоретическая кривая выбрана в виде полинома (8.6.2).

Введем матрицы:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

Система нормальных уравнений размерности Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru будет представлена в виде:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru

Разрешая это матричное уравнение относительно матрицы Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru , находим:

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

При найденных таким образом коэффициентах Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru условие (8.6.3) выполнится.

Пример: По МНК построить теоретическую кривую в виде полинома второго порядка Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru для обработки эксперимента:

3 Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru
Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru -2 -1
Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru 3,3 -0,1 -0,8 -0,5 2,6 9,2

Введем матрицы в соответствии с (8.6.5.):

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru ; По (8.6.6) находим: Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

Теоретическая кривая: Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru .

На рис. 8.4. приведена теоретическая кривая и показаны экспериментальные точки.

Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru

Рис. 8.4.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. ‑ 479с.

Приложения

Таблица П1. Интеграл Лапласа Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru и плотность нормального распределения Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru

x F(x) j(x) x F(x) j(x) x F(x) j(x)
0.00 0.00000 0.39894 0.46 0.17724 0.35889 0.92 0.32121 0.26129
0.01 0.00399 0.39892 0.47 0.18082 0.35723 0.93 0.32381 0.25888
0.02 0.00798 0.39886 0.48 0.18439 0.35553 0.94 0.32639 0.25647
0.03 0.01197 0.39876 0.49 0.18793 0.35381 0.95 0.32894 0.25406
0.04 0.01595 0.39862 0.50 0.19146 0.35207 0.96 0.33147 0.25164
0.05 0.01994 0.39844 0.51 0.19497 0.35029 0.97 0.33398 0.24923
0.06 0.02392 0.39822 0.52 0.19847 0.34849 0.98 0.33646 0.24681
0.07 0.02790 0.39797 0.53 0.20194 0.34667 0.99 0.33891 0.24439
0.08 0.03188 0.39767 0.54 0.20540 0.34482 1.00 0.34134 0.24197
0.09 0.03586 0.39733 0.55 0.20884 0.34294 1.01 0.34375 0.23955
0.10 0.03983 0.39695 0.56 0.21226 0.34105 1.02 0.34614 0.23713
0.11 0.04380 0.39654 0.57 0.21566 0.33912 1.03 0.34849 0.23471
0.12 0.04776 0.39608 0.58 0.21904 0.33718 1.04 0.35083 0.23230
0.13 0.05172 0.39559 0.59 0.22240 0.33521 1.05 0.35314 0.22988
0.14 0.05567 0.39505 0.60 0.22575 0.33322 1.06 0.35543 0.22747
0.15 0.05962 0.39448 0.61 0.22907 0.33121 1.07 0.35769 0.22506
0.16 0.06356 0.39387 0.62 0.23237 0.32918 1.08 0.35993 0.22265
0.17 0.06749 0.39322 0.63 0.23565 0.32713 1.09 0.36214 0.22025
0.18 0.07142 0.39253 0.64 0.23891 0.32506 1.10 0.36433 0.21785
0.19 0.07535 0.39181 0.65 0.24215 0.32297 1.11 0.36650 0.21546
0.20 0.07926 0.39104 0.66 0.24537 0.32086 1.12 0.36864 0.21307
0.21 0.08317 0.39024 0.67 0.24857 0.31874 1.13 0.37076 0.21069
0.22 0.08706 0.38940 0.68 0.25175 0.31659 1.14 0.37286 0.20831
0.23 0.09095 0.38853 0.69 0.25490 0.31443 1.15 0.37493 0.20594
0.24 0.09483 0.38762 0.70 0.25804 0.31225 1.16 0.37698 0.20357
0.25 0.09871 0.38667 0.71 0.26115 0.31006 1.17 0.37900 0.20121
0.26 0.10257 0.38568 0.72 0.26424 0.30785 1.18 0.38100 0.19886
0.27 0.10642 0.38466 0.73 0.26730 0.30563 1.19 0.38298 0.19652
0.28 0.11026 0.38361 0.74 0.27035 0.30339 1.20 0.38493 0.19419
0.29 0.11409 0.38251 0.75 0.27337 0.30114 1.21 0.38686 0.19186
0.30 0.11791 0.38139 0.76 0.27637 0.29887 1.22 0.38877 0.18954
0.31 0.12172 0.38023 0.77 0.27935 0.29659 1.23 0.39065 0.18724
0.32 0.12552 0.37903 0.78 0.28230 0.29431 1.24 0.39251 0.18494
0.33 0.12930 0.37780 0.79 0.28524 0.29200 1.25 0.39435 0.18265
0.34 0.13307 0.37654 0.80 0.28814 0.28969 1.26 0.39617 0.18037
0.35 0.13683 0.37524 0.81 0.29103 0.28737 1.27 0.39796 0.17810
0.36 0.14058 0.37391 0.82 0.29389 0.28504 1.28 0.39973 0.17585
0.37 0.14431 0.37255 0.83 0.29673 0.28269 1.29 0.40147 0.17360
0.38 0.14803 0.37115 0.84 0.29955 0.28034 1.30 0.40320 0.17137
0.39 0.15173 0.36973 0.85 0.30234 0.27798 1.31 0.40490 0.16915
0.40 0.15542 0.36827 0.86 0.30511 0.27562 1.32 0.40658 0.16694
0.41 0.15910 0.36678 0.87 0.30785 0.27324 1.33 0.40824 0.16474
0.42 0.16276 0.36526 0.88 0.31057 0.27086 1.34 0.40988 0.16256
0.43 0.16640 0.36371 0.89 0.31327 0.26848 1.35 0.41149 0.16038
0.44 0.17003 0.36213 0.90 0.31594 0.26609 1.36 0.41309 0.15822
0.45 0.17364 0.36053 0.91 0.31859 0.26369 1.37 0.41466 0.15608

Продолжение табл. П1





x F(x) j(x) x F(x) j(x) x F(x) j(x)
1.38 0.41621 0.15395 1.90 0.47128 0.06562 2.42 0.49224 0.02134
1.39 0.41774 0.15183 1.91 0.47193 0.06438 2.43 0.49245 0.02083
1.40 0.41924 0.14973 1.92 0.47257 0.06316 2.44 0.49266 0.02033
1.41 0.42073 0.14764 1.93 0.47320 0.06195 2.45 0.49286 0.01984
1.42 0.42220 0.14556 1.94 0.47381 0.06077 2.46 0.49305 0.01936
1.43 0.42364 0.14350 1.95 0.47441 0.05959 2.47 0.49324 0.01888
1.44 0.42507 0.14146 1.96 0.47500 0.05844 2.48 0.49343 0.01842
1.45 0.42647 0.13943 1.97 0.47558 0.05730 2.49 0.49361 0.01797
1.46 0.42785 0.13742 1.98 0.47615 0.05618 2.50 0.49379 0.01753
1.47 0.42922 0.13542 1.99 0.47670 0.05508 2.51 0.49396 0.01709
1.48 0.43056 0.13344 2.00 0.47725 0.05399 2.52 0.49413 0.01667
1.49 0.43189 0.13147 2.01 0.47778 0.05292 2.53 0.49430 0.01625
1.50 0.43319 0.12952 2.02 0.47831 0.05186 2.54 0.49446 0.01585
1.51 0.43448 0.12758 2.03 0.47882 0.05082 2.55 0.49461 0.01545
1.52 0.43574 0.12566 2.04 0.47932 0.04980 2.56 0.49477 0.01506
1.53 0.43699 0.12376 2.05 0.47982 0.04879 2.57 0.49492 0.01468
1.54 0.43822 0.12188 2.06 0.48030 0.04780 2.58 0.49506 0.01431
1.55 0.43943 0.12001 2.07 0.48077 0.04682 2.59 0.49520 0.01394
1.56 0.44062 0.11816 2.08 0.48124 0.04586 2.60 0.49534 0.01358
1.57 0.44179 0.11632 2.09 0.48169 0.04491 2.61 0.49547 0.01323
1.58 0.44295 0.11450 2.10 0.48214 0.04398 2.62 0.49560 0.01289
1.59 0.44408 0.11270 2.11 0.48257 0.04307 2.63 0.49573 0.01256
1.60 0.44520 0.11092 2.12 0.48300 0.04217 2.64 0.49585 0.01223
1.61 0.44630 0.10915 2.13 0.48341 0.04128 2.65 0.49598 0.01191
1.62 0.44738 0.10741 2.14 0.48382 0.04041 2.66 0.49609 0.01160
1.63 0.44845 0.10567 2.15 0.48422 0.03955 2.67 0.49621 0.01130
1.64 0.44950 0.10396 2.16 0.48461 0.03871 2.68 0.49632 0.01100
1.65 0.45053 0.10226 2.17 0.48500 0.03788 2.69 0.49643 0.01071
1.66 0.45154 0.10059 2.18 0.48537 0.03706 2.70 0.49653 0.01042
1.67 0.45254 0.09893 2.19 0.48574 0.03626 2.71 0.49664 0.01014
1.68 0.45352 0.09728 2.20 0.48610 0.03547 2.72 0.49674 0.00987
1.69 0.45449 0.09566 2.21 0.48645 0.03470 2.73 0.49683 0.00961
1.70 0.45543 0.09405 2.22 0.48679 0.03394 2.74 0.49693 0.00935
1.71 0.45637 0.09246 2.23 0.48713 0.03319 2.75 0.49702 0.00909
1.72 0.45728 0.09089 2.24 0.48745 0.03246 2.76 0.49711 0.00885
1.73 0.45818 0.08933 2.25 0.48778 0.03174 2.77 0.49720 0.00861
1.74 0.45907 0.08780 2.26 0.48809 0.03103 2.78 0.49728 0.00837
1.75 0.45994 0.08628 2.27 0.48840 0.03034 2.79 0.49736 0.00814
1.76 0.46080 0.08478 2.28 0.48870 0.02965 2.80 0.49744 0.00792
1.77 0.46164 0.08329 2.29 0.48899 0.02898 2.85 0.49781 0.00687
1.78 0.46246 0.08183 2.30 0.48928 0.02833 2.90 0.49813 0.00595
1.79 0.46327 0.08038 2.31 0.48956 0.02768 2.95 0.49841 0.00514
1.80 0.46407 0.07895 2.32 0.48983 0.02705 3.00 0.49865 0.00443
1.81 0.46485 0.07754 2.33 0.49010 0.02643 3.10 0.49903 0.00327
1.82 0.46562 0.07614 2.34 0.49036 0.02582 3.20 0.49931 0.00238
1.83 0.46638 0.07477 2.35 0.49061 0.02522 3.30 0.49952 0.00172
1.84 0.46712 0.07341 2.36 0.49086 0.02463 3.40 0.49966 0.00123
1.85 0.46784 0.07206 2.37 0.49111 0.02406 3.50 0.49977 0.00087
1.86 0.46856 0.07074 2.38 0.49134 0.02349 3.60 0.49984 0.00061
1.87 0.46926 0.06943 2.39 0.49158 0.02294 3.80 0.49993 0.00029
1.88 0.46995 0.06814 2.40 0.49180 0.02239 4.00 0.49997 0.00013
1.89 0.47062 0.06687 2.41 0.49202 0.02186 4.50 0.50000 0.00002

Таблица П2. Квантили t-распределения Стьюдента tp(f)

f \ p 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995
3.07768 6.31375 12.70620 31.82052 63.65674 127.3213 318.3088 636.6193
1.88562 2.91999 4.30265 6.96456 9.92484 14.08905 22.32712 31.59905
1.63775 2.35338 3.18245 4.54070 5.84091 7.45332 10.21453 12.92398
1.53321 2.13185 2.77645 3.74695 4.60410 5.59757 7.17318 8.61030
1.47588 2.01505 2.57058 3.36493 4.03216 4.77335 5.89343 6.86883
1.43976 1.94318 2.44691 3.14267 3.70743 4.31683 5.20763 5.95882
1.41492 1.89458 2.36462 2.99795 3.49948 4.02934 4.78529 5.40790
1.39682 1.85955 2.30600 2.89646 3.35539 3.83252 4.50079 5.04131
1.38303 1.83311 2.26216 2.82144 3.24984 3.68966 4.29681 4.78091
1.37218 1.81246 2.22814 2.76377 3.16927 3.58141 4.14370 4.58689
1.36343 1.79588 2.20099 2.71808 3.10581 3.49661 4.02470 4.43698
1.35622 1.78229 2.17881 2.68100 3.05454 3.42844 3.92963 4.31779
1.35017 1.77093 2.16037 2.65031 3.01228 3.37247 3.85198 4.22083
1.34503 1.76131 2.14479 2.62449 2.97684 3.32570 3.78739 4.14045
1.34061 1.75305 2.13145 2.60248 2.94671 3.28604 3.73283 4.07277
1.33676 1.74588 2.11991 2.58349 2.92078 3.25199 3.68615 4.01500
1.33338 1.73961 2.10982 2.56693 2.89823 3.22245 3.64577 3.96513
1.33039 1.73406 2.10092 2.55238 2.87844 3.19657 3.61048 3.92165
1.32773 1.72913 2.09302 2.53948 2.86093 3.17372 3.57940 3.88341
1.32534 1.72472 2.08596 2.52798 2.84534 3.15340 3.55181 3.84952
1.32319 1.72074 2.07961 2.51765 2.83136 3.13521 3.52715 3.81928
1.32124 1.71714 2.07387 2.50832 2.81876 3.11882 3.50499 3.79213
1.31946 1.71387 2.06866 2.49987 2.80734 3.10400 3.48496 3.76763
1.31784 1.71088 2.06390 2.49216 2.79694 3.09051 3.46678 3.74540
1.31635 1.70814 2.05954 2.48511 2.78744 3.07820 3.45019 3.72514
1.31497 1.70562 2.05553 2.47863 2.77871 3.06691 3.43500 3.70661
1.31370 1.70329 2.05183 2.47266 2.77068 3.05652 3.42103 3.68959
1.31253 1.70113 2.04841 2.46714 2.76326 3.04693 3.40816 3.67391
1.31143 1.69913 2.04523 2.46202 2.75639 3.03805 3.39624 3.65941
1.31042 1.69726 2.04227 2.45726 2.75000 3.02980 3.38518 3.64596
1.30308 1.68385 2.02108 2.42326 2.70446 2.97117 3.30688 3.55097
1.29871 1.67591 2.00856 2.40327 2.67779 2.93696 3.26141 3.49601
1.29582 1.67065 2.00030 2.39012 2.66028 2.91455 3.23171 3.46020
1.29103 1.66196 1.98667 2.36850 2.63157 2.87788 3.18327 3.40194
1.28865 1.65765 1.97993 2.35782 2.61742 2.85986 3.15954 3.37345
1.28509 1.65123 1.96990 2.34199 2.59647 2.83322 3.12454 3.33152
¥ 1.28155 1.64485 1.95996 2.32635 2.57583 2.80703 3.09023 3.29053

Таблица П3. Квантили c2-распределения Пирсона c2p(f)

f \ p 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995
2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944 9.14059 10.82757 12.11567
4.60517 5.99146 7.37776 9.21034 10.59663 11.98293 13.81551 15.20180
6.25139 7.81473 9.34840 11.34487 12.83816 14.32035 16.26624 17.73000
7.77944 9.48773 11.14329 13.27670 14.86026 16.42394 18.46683 19.99735
9.23636 11.07050 12.83250 15.08627 16.74960 18.38561 20.51501 22.10533
10.64464 12.59159 14.44938 16.81189 18.54758 20.24940 22.45774 24.10280
12.01704 14.06714 16.01276 18.47531 20.27774 22.04039 24.32189 26.01783
13.36157 15.50731 17.53455 20.09024 21.95495 23.77447 26.12448 27.86805
14.68366 16.91898 19.02277 21.66599 23.58935 25.46248 27.87718 29.66582
15.98718 18.30704 20.48318 23.20925 25.18818 27.11217 29.58830 31.41981
17.27501 19.67514 21.92005 24.72497 26.75685 28.72935 31.26414 33.13662
18.54935 21.02607 23.33666 26.21697 28.29952 30.31848 32.90949 34.82127
19.81193 22.36203 24.73560 27.68825 29.81947 31.88309 34.52818 36.47779
21.06414 23.68479 26.11895 29.14124 31.31935 33.42601 36.12327 38.10940
22.30713 24.99579 27.48839 30.57791 32.80132 34.94959 37.69730 39.71876
23.54183 26.29623 28.84535 31.99993 34.26719 36.45575 39.25235 41.30807
24.76904 27.58711 30.19101 33.40866 35.71847 37.94614 40.79022 42.87921
25.98942 28.86930 31.52638 34.80531 37.15645 39.42215 42.31240 44.43377
27.20357 30.14353 32.85233 36.19087 38.58226 40.88497 43.82020 45.97312
28.41198 31.41043 34.16961 37.56623 39.99685 42.33566 45.31475 47.49845
29.61509 32.67057 35.47888 38.93217 41.40106 43.77512 46.79704 49.01081
30.81328 33.92444 36.78071 40.28936 42.79565 45.20415 48.26794 50.51112
32.00690 35.17246 38.07563 41.63840 44.18128 46.62346 49.72823 52.00019
33.19624 36.41503 39.36408 42.97982 45.55851 48.03369 51.17860 53.47875
34.38159 37.65248 40.64647 44.31410 46.92789 49.43540 52.61966 54.94746
35.56317 38.88514 41.92317 45.64168 48.28988 50.82911 54.05196 56.40689
36.74122 40.11327 43.19451 46.96294 49.64492 52.21527 55.47602 57.85759
37.91592 41.33714 44.46079 48.27824 50.99338 53.59431 56.89229 59.30003
39.08747 42.55697 45.72229 49.58788 52.33562 54.96660 58.30117 60.73465
40.25602 43.77297 46.97924 50.89218 53.67196 56.33250 59.70306 62.16185
51.80506 55.75848 59.34171 63.69074 66.76596 69.69911 73.40196 76.09460
63.16712 67.50481 71.42020 76.15389 79.48998 82.66405 86.66082 89.56052
74.39701 79.08194 83.29767 88.37942 91.95170 95.34402 99.60723 102.6948
107.5595 113.1425 118.1388 124.1303 128.3240 132.2938 137.2668 140.8583
140.2278 146.5652 152.2141 158.9625 163.6700 168.1148 173.6679 177.6683
268.4675 277.1363 284.8046 293.8971 300.1978 306.1168 313.4722 318.7450

Для больших f: Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов - student2.ru , где up – квантиль стандартного нормального распределения (см.последнюю строку таблицы 2).

Продолжение табл.П3

f \ p 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005
0.01579 0.00393 0.00098 0.00016 0.00004 0.00001 0.00000 0.00000
0.21072 0.10259 0.05064 0.02010 0.01003 0.00501 0.00200 0.00100
0.58437 0.35185 0.21580 0.11483 0.07172 0.04494 0.02430 0.01528
1.06362 0.71072 0.48442 0.29711 0.20699 0.14487 0.09080 0.06392
1.61031 1.14548 0.83121 0.55430 0.41174 0.30748 0.21021 0.15814
2.20413 1.63538 1.23734 0.87209 0.67573 0.52657 0.38107 0.29941
2.83311 2.16735 1.68987 1.23904 0.98926 0.79447 0.59849 0.48487
3.48954 2.73264 2.17973 1.64650 1.34441 1.10426 0.85710 0.71038
4.16816 3.32511 2.70039 2.08790 1.73493 1.45014 1.15195 0.97170
4.86518 3.94030 3.24697 2.55821 2.15586 1.82740 1.47874 1.26498
5.57778 4.57481 3.81575 3.05348 2.60322 2.23214 1.83385 1.58685
6.30380 5.22603 4.40379 3.57057 3.07382 2.66118 2.21421 1.93438
7.04150 5.89186 5.00875 4.10692 3.56503 3.11188 2.61722 2.30506
7.78953 6.57063 5.62873 4.66043 4.07467 3.58202 3.04067 2.69673
8.54676 7.26094 6.26214 5.22935 4.60092 4.06973 3.48268 3.10752
9.31224 7.96165 6.90766 5.81221 5.14221 4.57341 3.94163 3.53581
10.08519 8.67176 7.56419 6.40776 5.69722 5.09167 4.41609 3.98018
10.86494 9.39046 8.23075 7.01491 6.26480 5.62334 4.90485 4.43939
11.65091 10.11701 8.90652 7.63273 6.84397 6.16736 5.40682 4.91234
12.44261 10.85081 9.59078 8.26040 7.43384 6.72282 5.92104 5.39807
13.23960 11.59131 10.28290 8.89720 8.03365 7.28892 6.44668 5.89570
14.04149 12.33801 10.98232 9.54249 8.64272 7.86493 6.98297 6.40447
14.84796 13.09051 11.68855 10.19572 9.26042 8.45021 7.52924 6.92368
15.65868 13.84843 12.40115 10.85636 9.88623 9.04418 8.08488 7.45269
16.47341 14.61141 13.11972 11.52398 10.51965 9.64633 8.64934 7.99096
17.29188 15.37916 13.84390 12.19815 11.16024 10.25618 9.22213 8.53795
18.11390 16.15140 14.57338 12.87850 11.80759 10.87331 9.80278 9.09320
18.93924 16.92788 15.30786 13.56471 12.46134 11.49732 10.39088 9.65627
19.76774 17.70837 16.04707 14.25645 13.12115 12.12787 10.98605 10.22678
20.59923 18.49266 16.79077 14.95346 13.78672 12.76462 11.58795 10.80436
29.05052 26.50930 24.43304 22.16426 20.70654 19.41710 17.91643 16.90622
37.68865 34.76425 32.35736 29.70668 27.99075 26.46355 24.67391 23.46097
46.45889 43.18796 40.48175 37.48485 35.53449 33.79114 31.73834 30.34048
73.29493 69.12590 65.64051 61.73768 59.17068 56.85617 54.10442 52.21280
100.6271 95.70469 91.56752 86.90915 83.82929 81.04082 77.71040 75.41087
212.3882 205.1357 198.9805 191.9800 187.3084 183.0473 177.9166 174.3463

Наши рекомендации