Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов.

Ответ: Линейная интерполяция осуществляется с помощью встроенной функции linterp, имеющей следующий общий вид: linterp(VX,VY,x), где VX, VY – векторы координат узловых точек; x – значение аргумента, для которого будет получено интерполяционное значение функции y.

Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

В MathCAD для проведения кубической сплайн-интерполяции предлагается три встроенные функции (VX, VY – вектора узловых точек): cspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к кубическому полиному; pspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к параболической кривой; lspline(VX, VY) – возвращает вектор вторых производных (VK) при приближении в опорных точках к прямой.

Интерполирующая функция строится с помощью стандартной функции interp, имеющей следующий общий вид: interp(VK,VX, VY,x), где VK – вектор вторых производных сплайна в опорных точках; x – произвольная точка, в которой вычисляется значение интерполирующей функции. Последовательность кубической сплайн-интерполяции такова:

- создаются вектора VX и VY, содержащие координаты точек, через которые нужно провести кубический сплайн;

- вычисляется вектор VK с использованием одной из перечисленных функций;

- вычисляется множество произвольных значений интерполирующей функции в нужном количестве точек с помощью стандартной функции interp.

Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

MathCAD позволяет проводить линейную регрессию общего вида, в которой аппроксимирующая функция задается линейной комбинацией функций, причем сами функции fi(x) могут быть нелинейными:

 
  Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

Линейная регрессия общего вида реализуется с помощью функции linfit: linfit(VX, VY,F), где VX, VY – координаты исходных точек; F - вектор, содержащий функции fi(x) , записанные в символьном виде.Функция linfit еще называется функцией аппроксимации по методу наименьших квадратов.

Результатом работы функции linfit является вектор коэффициентов К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения исходных точек с координатами VX, VY, минимальна. Вектор VX должен быть возрастающим.

Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

Полиномиальная регрессия позволяет аппроксимировать зависимость полиномом произвольной степени. Вычисление коэффициентов полинома осуществляется с помощью встроенной функции regress, которая имеет следующий общий вид: regress(VX, VY, n), где VX, VY – вектора с координатами исходных данных, n – порядок полинома (первые три возвращаемые коэффициенты служебные, а далее искомые значения, расположенные по возрастанию степени полинома). Для построения аппроксимирующей зависимости можно воспользоваться встроенной функцией interp(VK,VX, VY,x), где VK – вектор коэффициентов, рассчитанных функцией regress; x – рассчитываемая точка. Для проведения регрессии необходимо что бы вектор VX был возрастающим и количество его элементов было больше степени полинома на 1. Функция regress определяет единственный приближающий полином, элементы которого вычисляются по всей совокупности точек. Для выполнения нелинейной регрессии общего вида необходимо определить параметры произвольной аппроксимирующей функции, при которой обеспечивается минимальная среднеквадратичная ошибка. Для этого используется встроенная функцияgenfit,имеющая следующий общий вид: genfit(VX,VY,VS,F), где VS - вектор, который задает начальные приближения элементов вектора K, рассчитываемых итерационным способом; F - вектор, который содержит искомую функцию и ее частные производные по параметрам Ki в аналитическом виде:

На рисунке приведены примеры применения различных видов аппроксимирующих функций в MathCad.

Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru
 

 
  Аппроксимация данных в MathCAD по методу наименьших квадратов. - student2.ru

Наши рекомендации