Структура систем эконометрических уравнений

Объектом статистического изучения в экономике являются сложные системы. При использовании отдельных уравнений регрессии изменение факторов влечет за собой, как правило, изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений. Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

– система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов х_i

y₁= a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1mx_m+ε₁,

y₂= a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2mx_m+ε₂,

………………………………………

y_n= a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ε_n.

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

– система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении

y₁= a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1mx_m+ε₁,

y₂=b₂₁y₁+ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2mx_m+ε₂,

y₃=b₃₁y₁ + b₃₂y₂+ a₃₁x₁+ a₃₂x₂+…+ a_3mx_m+ε₃,

………………………………………………………

y_n=b_n1y₁+ b_n2y₂+…+ b_nn-1y_n-1+ a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ε_n.

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности, начиная с первого;

– система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую

y₁=b₁₂y₂ + b₁₃y₃+…+ b_1ny_n+ a₁₁x₁+ a₁₂x₂+…+ a_1mx_m+ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + b₂₃y₃+…+ b_2ny_n+ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+…+ a_2mx_m+ε₂,

…………………………………………………………………..

y_n=b_n1y₁+ b_n2y₂+…+ b_nn-1y_n-1+ a_n1x₁+ a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ε_n.

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Зависимые переменные (у), число которых равно числу уравнений в системе, называются эндогенными переменными, предопределенные переменные (х), влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них, называются экзогенными переменными.

Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно получать целевые значения эндогенных переменных.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

y₁=b₁₂y₂ + a₁₁x₁+ ε₁,

y₂=b₂₁y₁ + a₂₂x₂+ a₂₃x₃+ε₂,

где y₁– темп изменения месячной заработной платы;

y₂ – темп изменения цен;

х₁ – процент безработных;

х₂ – темп изменения постоянного капитала;

х₃ – темп изменения цен на импорт сырья.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы называется приведенной формой модели

y₁= δ₁₁x₁+ δ₁₂x₂+…+ δ_1mx_m+ε₁,

y₂= δ₂₁x₁+ δ₂₂x₂+…+ δ_2mx_m+ε₂,

………………………………………

y_n= δ_n1x₁+ δ_n2x₂+…+ δ_nmx_m+ε_n.

где δ_ij– коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

– идентифицируемые;

– неидентифицируемые;

– сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через H – число эндогенных переменных в уравнении, а через D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификацииотдельного уравнения принимает вид:

– уравнение идентифицируемо, если D + 1 = H;

– уравнение неидентифицируемо, если D + 1 < H;

– уравнение сверхидентифицируемо, если D + 1 > Н.

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.