Классификация пластин и оболочек

Оболочки и пластины, которые являются основными несущими элементами оболочечных и пластинчатых кон­струкций (п. 1.1), представляют собой тела, у которых один размер (толщина) весьма мал по сравнению с другими. По­верхность, равноотстоящую от образующих поверхностей пластины или оболочки, называют срединной. Если эта поверхность плоская, то такой элемент называют пласти­ной, если же искривленная то — оболочкой.Закрепление пластин и оболочек обычно производится по линиям, поэтому они являются конструкциями беско­нечное число раз статически неопределимыми. Методы ана­литического расчета пластин и оболочек входят в раздел теории упругости и позволяют получать аналитические ре­шения только для наиболее простых конфигураций, усло­вий закрепления и нагружения. Наиболее надежным спо­собом расчета пластинчатых и оболочечных конструкций следует считать МКЭ.

Имеются две типовые схемы загружения пластины:

• продольное, когда все нагрузки лежат в срединной плоско­сти; такая пластина называется балкой-стенкой (рис. 4.9, а);

• поперечное, когда нагрузки перпендикулярны к сре­динной плоскости (рис. 4.9, б—д).

В балке-стенке возникает плоское, постоянное по тол­щине напряженное состояние. Расчетные модели пластин при поперечном нагружении делят:

• на плиты или толстые пластины, для которых t> 0,2а (tи а — толщина и наименьший размер в плане);

• тонкие жесткие пластины, для которых t< 0,05а и <0,5t( — максимальный прогиб);

• пластины конечной жесткости или мембраны.

В толстой пластине возникает объемное напряженное состояние. Модель тонкой жесткой пластины позволяет вычислить напряжения от изгиба, но игнорирует растяги­вающие или сжимающие мембранные напряжения, дей­ствующие в срединной плоскости как пренебрежимо ма­лые. Мембранами считают весьма тонкие пластины,

в которых при поперечном нагружении возникают и изгибные напряжения, и значительные растягивающие (мембранные) напряжения. Причем мембранные напряжения являются превалирующими.

Теория оболочек включает две основные модели: безмоментные и моментные оболочки. Безмоментная модель описывает поведение оболочки, которая воспринимает по­перечную нагрузку только за счет мембранных напряже­ний (растяжения), равномерно распределенных по толщи­не (как в воздушном шаре). Моментная модель учитывает как общее растяжение, так и изгиб оболочки.

4.4.2. Модели и примеры расчета пластин под действием поперечных нагрузок

Для проектирования тонкостенных конструкций наибольший интерес представляет модель тонкой жесткой пла­стины. Анализ напряженно-деформированного состояния такой пластины базируется на гипотезах Кирхгофа, по­добных тем, которые используются в технической теории изгиба балок, т. е.:

• материальная нормаль (т. е. связанная с материалом пластинки), проведенная к срединной плоскости сквозь пла­стинку, остается не искривленной нормалью к деформиро­ванной срединной поверхности;

• нормальные напряжения в плоскостях, параллельных срединной, пренебрежимо малы.

На основании этих допущений выводятся зависимости интенсивности изгибающих моментов (т. е. моментов, от­несенных к единице длины сечения пластины) от формы упругой поверхности

Здесь цилиндрическая жесткость пластины (параметр, эквивалентный жесткости балки EJ). В пластине, как и в балке, чем больше кривизна поверхности , тем больше изгибающии момент.

Нормальные напряжения от изгиба пластины линейно изменяются по толщине, и экстремальные значения, воз­никающие в поверхностных слоях, вычисляются как

Таким образом, зная упругую поверхность пластины , можно найти действующие в ней напряжения. Поиск , и составляет основную проблему теории расче­та пластин.

Далее даны аппроксимации некоторых решений, приведен­ных в табличной форме в книге Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайн- берг «Расчет пластин» (Киев: Буд1вельник, 1970). Приве­денные решения дают погрешность относительно указан­ных табличных данных не более ±5 %.

1.

(4.16)

Прямоугольная пластина толщиной t,шарнирно опер­тая по контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой по всей поверхности (рис. 4.9, б) при . Прогиб в центре пластины

Максимальные нормальные напряжения в центре пластины

(4.17)

Здесь q— распределенная нагрузка на пластину, Н/м²; d— меньший размер пластины. Кроме того, значительные касательные напряжения возникают в углах пластины. Прямоугольная пластина, жестко заделанная по кон­туру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой по всей поверхности (рис. 4.9, в).

(4.18)

Прогиб в центре пластины

Нормальные напряжения в центре пластины:

(4.19)

(4.20)

Максимальные нормальные напряжения возникают в заделке посередине более длинной стороны:

2. Круглая пластина радиусом R,толщиной t,шарнир­но опертая по контуру, загруженная равномерно распре­деленной нагрузкой qпо всей поверхности (рис. 4.9, г).

4 wgDr4vwsN5n1J3rFYxkbwSUUMqOhjXHIpAx1i86EmR+QOPvwozORz7GRdjQnLne9XCSJks50xAut GfChxfqzPDgNoU7U7uW63O0rucHvlbWP75tnrS8vpvs7EBGn+AfDrz6rQ8FOlT+QDaLXcJveKEY5 mK9AMLBMFymISoNSCcgil/8/KH4AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YA AACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA7eYMIUYC AABRBAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAk6Gq BN8AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACgBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAA AKwFAAAAAA== " strokecolor="white [3212]">

(4.21)

Прогиб в центре пластины

(4.22)

Максимальные нормальные напряжения в центре пластины

3. Круглая пластина, жестко заделанная по контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой qпо всей поверхности (рис. 4.9, д).

(4.23)

Прогиб в центре пластины

(4.24)

Нормальные напряжения в центре пластины

(4.25)

Максимальные нормальные напряжения в заделке:

4.4.3. Модели и примеры расчета оболочек

Напряженное состояние оболочки образуют два компонента.

1. Плоское напряженное состояние, постоянное по тол­щине. Эти напряжения называют цепными или мембран­ными. Для их вычисления используется модель безмомент- ной оболочки, т. е. тонкой оболочки, имеющей плавно из­меняющуюся непрерывную поверхность, закрепления ко­торой не препятствуют свободному перемещению ее краев по нормали к срединной поверхности.

Загружается оболочка равномерно распределенным дав­лением. В такой оболочке не возникают изгибающие и кру­тящие моменты, а также отсутствуют касательные напряжения. В реальных оболочечных конструкциях мембран­ные напряжения являются основными в тех частях, кото­рые удалены от особенностей (днищ, ребер, патрубков и пр.).

2. Нормальные напряжения от изгиба оболочки, линей­но изменяющиеся по ее толщине. Эти напряжения имеют существенное значение в зонах местного нагружения обо­лочек, вблизи ребер, мест изменения кривизны или тол­щины оболочки. Для их анализа используется моментная модель.

Для расчета мембранных напряжений в цилиндриче­ской оболочке толщиной t, загруженной равномерно рас­пределенным давлением р, рассмотрим равновесие единич­ного элемента (рис. 4.10, а, б). По боковым его граням действуют усилия ,направленные по касательной к срединной поверхности оболочки. Спроецируем эти уси­лия на нормаль и запишем условие равновесия:

.

Для малого угла поэтому получим тангенциальные напряжения, возникающие под действи­ем внутреннего давления, пропорциональные радиусу кри­визны оболочки:

(4.26)

Продольные напряжения вычисляются из условия рав­новесия по сечению трубы под действием продольной силы как

(4.27)

Откуда найдем

(4.28)

В оболочке двоякой кривизны аналогичным образом получим

а в сферической оболочке радиусом R,загруженной внутренним давлением, получится

Если конец трубы, загруженной внутренним давлением, жестко защемлен (рис. 4.10, в), то вблизи этой задел­ки возникает зона концентрации нормальных напряжений от изгиба оболочки, который виден по неравномерности упругих перемещений стенки (показано штриховой лини

Рис. 4.11. Схемы оболочек (штриховой линией показаны упругие перемещения)

ей). В этой области тангенциальные напряжения умень­шаются, а продольные — возрастают. Значения напряже­ний в заделке:

В этих выражениях знак минус соответствует наруж­ной стороне оболочки, а плюс — внутренней. То есть про­дольные напряжения на внутренней поверхности возрас­тают примерно в четыре раза. Влияние заделки затухает на расстоянии примерно .

Аналогичный краевой эффект искривления оболочки воз­никает в местах соединения оболочки с ребрами (рис. 4.11, а) или упругим днищем (рис. 4.11, б), изменения толщины (рис. 4.11, в), формы или температуры оболочки. Значе­ния местных напряжений в указанных случаях надежно определяются с помощью МКЭ.

4.5. Применение метода конечных элементов для анализа напря­женно-деформированного состояния конструкций