Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с.

Каюмов Р.А.

Основы теории упругости

И элементы теории

Пластин и оболочек

Казань

УДК 539.3

ББК

К 12

Каюмов Р.А.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с.

ISBN 978-5-7829-0486-9

Табл. 0 Ил.32 Библиогр. 13 имен.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурного-строительного университета. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, проект №1660 государственного задания в сфере научной деятельности по Заданию № 2014/58 за 2015

Учебное пособие содержит основные понятия, допущения и законы, применяемые в теории упругости, теории пластин и оболочек, некоторые методы решения задач.

Предназначено для направления подготовки 08.03.01 «Строительство» и специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений».

Рецензенты:

Д.ф.-м.н. профессор КГТУ имени А.Н.Туполева академик АН РТ В.Н. Паймушин

Д.ф.-м.н. профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика и сопротивление материалов» КГТУ имени С.М. Кирова М.Н. Серазутдинов

УДК 539.3

ББК

  Ó Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2015
JSBN 978-5-7829-0486-9   Ó Каюмов Р.А., 2015

Введение

Расчет конструкций можно условно разбить на 2 следующих этапа:

1) Определение напряженно-деформированного состояния конструкций.

2) Проверка ее прочности, жесткости и устойчивости.

В курсах сопротивления материалов и строительной механики этот расчет ведется для элементов конструкций, изготовленных из стержней. Теория же упругости – это наука, которая занимается вопросами определения напряженно-деформированного состояния упругих тел произвольной конфигурации, в том числе характерных для строительства балок-стенок, плит, оболочек, стыковых узлов.

Статическая теория упругости использует следующие законы механики:

1. Уравнения равновесия:

∑ Fx=0, ∑ Fy=0, ∑ Fz=0, ∑ Mx=0, ∑ My=0, ∑ Mz=0.

2. Закон Гука, который предполагает прямо пропорциональную зависимостьдеформаций от нагрузок. Из курса сопротивления материалов известны следующие соотношения обобщенного закона Гука:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

3. Закон Дюгамеля-Неймана (закон линейного температурного расширения):

εx = εу = εz = α∙∆T.

Уравнения равновесия

Типы плоских задач теории упругости

Существует два типа плоских задач, описывающих два типа напряженно-деформированного состояния:

- плоское напряженное состояние (ПНС);

- плоское деформированное состояние (ПДС).

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим деформацию балки-стенки под действием некоторой нагрузки.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.2.1

Введем вектор перемещений Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru малого элемента (рис.2.1). Так как разные элементы перемещаются по-разному, то Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru зависит от координат элемента (его положения), т.е. Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Согласно закону параллелограмма, мы можем рассматривать не вектор, а его компоненты:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.2.2.

Зная перемещения, можно найти деформации малых элементов тела. Правила их вычисления даютсоотношения Коши.

Соотношения Коши

Рассмотрим малый элемент и его перемещение (рис.2.3). Найдем формулы для вычисления деформаций через ux, uy . Пусть точка С перемещается в точку С¢. Тогда Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Отсюда относительная линейная деформация (иногда ее называют осевой)будет:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (2.1)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.2.3

Это первое соотношение Коши. Аналогично:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Рассмотрим сдвиг нашего элемента. Пусть точка В перешла в В¢ (рис.2.4).

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.2.4. Рис.2.5.

В силу малости угла Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru имеем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Отметим, что даже при Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru =300 погрешность составляет около 5%. Точно так же находим, что:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Суммарное изменение прямого угла будет:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (2.2)

Этот угол называют деформацией сдвига (иногда углом сдвига), а соотношение (2.2) – вторым соотношением Коши.

Для краткости в дальнейшем в плоской задаче иногда индексы у угла Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru будем опускать.

Задача о дамбе

Поскольку при оценке прочности обычно необходимо знать лишь напряженное состояние тела, то интерес представляют задачи, в которых удается ограничиться только уравнениями равновесия. Одной из таких является, например, задача о дамбе (рис.3.1). Уравнение линии ВD имеет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.1)

Давление воды увеличивается с глубиной по закону:

pх = - p0 ∙(Н-у)/м; р0=0.1 кг/см2. (3.2)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.3.1 Рис.3.2

Считается, что дамба находится в плоском деформированном состоянии. Тогда уравнения равновесия внутреннего элемента имеют вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , (3.3)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.4)

Для простоты в дальнейшем силой веса Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru дамбы пренебрежем.

Решение ищем в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (3.5)

Необходимо определить коэффициенты aij; bij; cij .

Из уравнений равновесия внутреннего элемента 1 получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru - первое уравнение равновесия внутреннего элемента;

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru - второе уравнение равновесия внутреннего элемента.

Отсюда:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , (3.6)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.7)

Из уравнений равновесия элемента 2 на левой грани (его координаты: х = 0, у – любое) вытекает (рис 3.3):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , (3.8)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.9)

Подставляя сюда (3.3) и (3.5) получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , 3.10)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.11)

Сначала в качестве координат центра малого элемента 2 примем точку х=0, у=0. Тогда получим из (3.10), (3.11):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

В качестве координат центра малого элемента 3 примем точку х=0, у=Н/2. Подставляя в (3.10) (3.11), получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из (3.6) тогда вытекает, что Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из уравнения равновесия элемента 3 на наклонной грани (рис.3.1, рис.3.3) следует:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис. 3.3

Подставляя сюда (3.5) получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (3.12)

Учтем уравнение прямой BD:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Тогда уравнения (3.12) примут вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.13)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .(3.14)

Выберем координаты центра этого элемента в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , у = 0.

Тогда из уравнения (3.13) вытекает:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (3.15)

Наконец выбирая координаты центра третьего элемента в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , у= H/2,

получаем из уравнения (3.13):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (3.16)

Из (3.15), (3.16) находим, что

с100 сtg2α, а00= - р0Н.

Аналогично получаем систему уравнений для отыскания оставшихся неизвестных, подставляя в (3.14) координаты центра элемента, находящегося в вершине дамбы. Тогда решение запишется в виде:

b000 Н сtg2α, b10= - р0 сtg3α, b01= - р0 сtg2α.

Подставляя все коэффициенты в (3.5), получим:

σх = р0 у,

σу = (- р0 сtg3α) х - (р0 сtg2α) у,

τху = (р0 сtg2α) х.

Выводы из решения

1. Решение имеет очень простой вид.

2. Это решение не может удовлетворить условия закрепления основания, а именно: условию eх=0 на линии АВ, поскольку после подстановки вычисленных значений напряжений по закону Гука получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Если нас не интересует точность решения в опорной зоне, то решение приемлемо. Однако это противоречие не является существенным, так как условие жесткой заделки является лишь некоторой приближенной заменой реальных условий закрепления. Все недостатки решений такого рода сглаживаются введением коэффициента запаса.

Примечание. Как было отмечено ранее, кроме уравнений равновесия напряжения должны удовлетворять условию совместности деформаций (2.4). В нашем случае оно будет удовлетворяться тождественно, поскольку напряжения представляют собой линейные функции, а в соотношения (2.4) необходимо подставлять вторые производные.

Метод Бубнова-Галеркина

Рассмотрим его суть на предыдущем примере. Как и в методе коллокаций решение ищется в виде аппроксимации (4.5) с неизвестными коэффициентами, то есть:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (5.1)

Аналогично по формулам (4.6), (4.7) находятся деформации и напряжения Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Напряжения подставляются в уравнения равновесия внутреннего и граничных элементов, перемещения подставляются в условия закрепления. В результате снова получаем не алгебраические, а следующие функциональные уравнения.

Уравнения равновесия внутреннего элемента типа (4.11):

F(a00, …, х) = - q(x). (5.2)

Уравнения равновесия граничных элементов типа (4.12):

H (a00,…, l) = p(l). (5.3)

Условия закрепления типа (4.13):

G (a00, …, 0) = 0. (5.4)

После этого начинаются различия в методах коллокаций и Бубнова-Галеркина. Слева и справа в уравнениях (5.2) функции равны или близки друг к другу, значит, и интегралы от них должны быть близки, т.е.:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Исходные уравнения можно умножать на любую функцию j(х), от этого равенство не изменится. После этого можно проинтегрировать еще раз:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Добавляя уравнения (5.3), (5.4), в итоге получим столько уравнений, сколько неизвестных.

Недостаток метода в том, что Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru … выбираются расчетчиком, следовательно, решение достаточно субъективно. Однако, как правило, наилучшее приближение к точному решению получается тогда, когда в качестве Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru … принимаются функции, использованные для аппроксимации перемещений.

Рассмотрим пример, приведенный на рис.4.1.

Сначала интегрируем уравнение (4.11), а затем интегрируем его же, но умножив на Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru :

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (5.4)

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (5.5)

Уравнение для граничного элемента (4.12) и условие закрепления (4.13) останутся такими же:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (5.6)

Интегрируя (5.4), (5.5) получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из второго уравнения находим а2:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Из уравнения (5.6) находим а1:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Таким образом,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Эпюра напряжений имеет вид, приведенный на рис.5.1, и не очень сильно отличается от эпюры, приведенной на рис.4.2.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.5.1.

МЕТОД РЭЛЕЯ-РИТЦА

Запишем соотношение, которое называется принципом возможных (виртуальных) перемещений. В простейшем случае одноосного растяжения оно имеет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Рассмотрим случай наличия поверхностных сил.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Возьмем бесконечно малую площадку dA. Тогда: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Работа силы: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Работа всех бесконечно малых сил dP: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Рассмотрим случай наличия объемных сил.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Найдем равнодействующую Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Она совершит работу Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . В результате работа объемных сил: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Таким образом, в общем случае принцип возможных перемещений примет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (6.1)

Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда к энергии деформации добавится следующее слагаемое:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Здесь t - касательное напряжение, g - сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных (виртуальных ) перемещений примет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Эта запись справедлива и в векторной форме, если под Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru подразумевать векторы.

Суть метода Рэлея-Ритца заключается в следующем. Как и в методе коллокаций, или Бубнова-Галеркина перемещения представляются в виде аппроксимации с неизвестными коэффициентами. Как и ранее, пояснения идут на примере простейшей одномерной задачи. Выбираем Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , например, в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Зададим условия закрепления при х = 0:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Отсюда вытекает, что

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Далее выражаем деформацию и напряжение через Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru :

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.2)

Подставим напряжение в правую часть принципа возможных перемещений (6.1). Далее выбираем несколько возможных (виртуальных, т.е. воображаемых) перемещений Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , через которые находим Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru по соотношениям Коши:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Количество разных воображаемых перемещений выбираем равным количеству неизвесных коэффициентов Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , чтобы число неизвестных было равно числу уравнений. После этого проводится интегрирование соотношений (6.1). Это дает систему обыкновенных линейных алгебраических уравнений для коэффициентов Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Основное достоинство метода состоит в том, что в отличие от метода Бубнова-Галеркина здесь не требуется выполнять условие равновесия граничных элементов, что позволяет использовать аппроксимации с меньшим количеством неизвестных.

Рассмотрим пример, приведенный на рис. 4.6 с теми же данными, что и ранее, т.е. при qx = 2x2, pх = 5. Примем следующую аппроксимацию для перемещений:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . (6.3)

Снова из условия закрепления Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru вытекает, что

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Далее выражаем деформацию и напряжение через Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru :

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.4)

Теперь выберем два разных Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Для этого применяют следующий подход. В первом варианте положим в аппроксимации (6.3) значения а1=1, а2=0. Тогда получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.5)

Подставим (6.4), (6.5) в (6.3), в результате получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.5)

Представим объем Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru в виде объема тонкого диска толщины dx. Тогда получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Отсюда вытекает первое уравнение в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.6)

Во втором варианте положим в аппроксимации (6.3) значения а1=0, а2=1. Тогда получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.7)

Подставим (6.7), (6.4) в (6.3):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.8)

Аналогично предыдущему получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Отсюда вытекает второе уравнение в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru (6.9)

Решение системы (6.6), (6.9) дает значения:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Напряжение будет вычисляться по формуле (6.4):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

В заделке напряжение будет

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

На правом торце Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Метод конечных разностей

Суть метода изложим для случая плоской задачи. Уравнения равновесия для внутреннего элемента имеют вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.7.1

Для граничных элементов в случае, например, изображенном на рис.7.1, уравнения равновесия примут вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru при Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru при Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru при Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

В методе конечных разностей искомыми считаем не функции Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , а их значения во внутренних и граничных узлах.

Нумерация неизвестных осуществляется с помощью двух индексов, например, Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru это значение функции Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru в i-й строчке, в j - м столбце.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.7.2

Воспользуемся геометрическим смыслом производной (это тангенс угла наклона касательной к кривой). Из рис.7.2 видно, что в точке с индексами i j имеем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Следовательно,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Таким образом, производная выражается через искомые значения функции Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Аналогично поступают с другими неизвестными функциями, т.е. с Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Все это подставляют в уравнения равновесия. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно значений напряжений Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Рассмотрим пример, приведенный на рис. 7.3.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.7.3

Рассмотрим задачу отыскания Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru в точках с координатами:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Эти величины найдем из условий равновесия:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Для граничного элемента получаем Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Для внутренних элементов:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Получилось 3 уравнения с 3-я неизвестными. Учитывая, что Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из третьего уравнения с учетом того, что Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , найдем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из второго и первого уравнений вытекает, что

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

К недостатку метода можно отнести то, что в случае плоской задачи, если область не прямоугольная, трудно записываются уравнения равновесия граничных элементов.

Достоинства метода заключаются в следующем.

1) Сразу получаем значения искомых функций

2) Легко следить за сходимостью метода при увеличении числа неизвестных.

Метод конечных элементов

МКЭ вобрал в себя положительные стороны и МКР, и метода Рэлея-Ритца. МКЭ основан на законе сохранения энергии, записанного в форме принципа виртуальных перемещений. Суть МКЭ заключатся в следующем.

1. Тело представляют в виде набора элементов с объемами Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru :

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

2. В каждом элементе Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru аппроксимируют искомые перемещения:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

здесь Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru – выбираемые расчетчиком вектор известных функций, Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru - вектор искомых узловых перемещений.

Наборы функций Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru на сегодня имеются в большом количестве.

3. На каждом элементе вычисляется работа внешних сил и накопленная упругая энергия элемента.

4. Все это подставляется в закон сохранения, например, в принцип возможных перемещений. В качестве Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru берутся какие-либо возможные перемещения. Обычно в качестве них берут соотношения Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , но с заданными значениями узловых перемещений Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . При этом для получения систем уравнений применяют следующую процедуру. Сначала принимают Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , далее берут Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru все остальные равны нулю и т.д.

В результате получим столько уравнений, сколько неизвестных.

Рассмотрим пример расчета бруса, приведенного на рис.8.1.

Пусть известно, что Р0=25 МПа; q=x2 МПа; l=3м. Найти перемещения узлов1,2 (т.е. u1, u2).

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.8.1

Разобьем стержень на два элемента – первый длиной 2 м, второй длиной 1 м. На каждом из них аппроксимируем перемещения линейными зависимостями.

Рассмотрим первый элемент и аппроксимируем перемещение следующей линейной функцией:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Тогда:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Рассмотрим второй элемент:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Подставим в закон сохранения (учитываем, что на правом торце Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ):

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

В качестве вариаций перемещений и деформаций (вооброжаемых перемещений и деформаций) примем:

1-й элемент: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

2-й элемент: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Полагая сначала Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , получим первое уравнение:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Полагая Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , получим второе уравнение:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Таким образом, нашли систему уравнений относительно Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Выразим перемещение Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru из второго уравнения:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Из первого уравнения тогда находим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Теперь можно вычислить напряжения:

1 элемент: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru МПа, 2 элемент: Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru МПа.

Достоинства метода

1. Решение сразу дает значения перемещений узлов упругого тела.

2. Легко проверяется сходимость метода при сгущении сетки.

3. Матрица системы уравнений получается симметрической и ленточной. Это позволяет экономить память ЭВМ и ускорять процесс решения.

4. В этом методе необходимо выполнять только геометрические граничные условия, например, задавать равными нулю перемещения закрепленных узлов. А записывать уравнение равновесия граничных и внутренних элементов как в методе Бубнова не нужно, поскольку закон сохранения энергии полностью эквивалентен этим уравнениям равновесия.

Недостатки метода

Распределение напряжений получается негладким. Для получения гладкого распределения напряжения существуют разные подходы. Наиболее часто применяемым является простейший метод осреднения напряжений в узлах (но он является наименее точным).

Приведем метод конечных элементов в матричной форме. Сначала проводится разбивка на элементы. Задача заключается в нумерации элементов, узлов и записи их связей.

Запись осуществляется в виде матрицы топологии, например, в виде:

[М] = [элементы, номера узлов]

М = Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Далее вводится аппроксимация перемещений на элементе.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

N – матрица, которая зависит от координат, {U} – вектор, составленный из перемещений узлов элемента, он является искомым.

Формы матрицы N на сегодня разработаны и имеются во всех пакетах МКЭ.

Например, в рассмотренной выше задаче N имеет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Далее вычисляются деформации по соотношениям Коши:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Тогда получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Затем записываем соотношения для напряжения по закону Гука.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Выберем вариацию.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru - воображаемый вектор узловых перемещений. Произвольность Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru требуется согласно принципу Лагранжа.

Подставим в принцип Лагранжа.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Здесь индексом Т обозначена операция транспонирования

Подставляя в принцип Лагранжа, получим:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

При интегрировании x, y, z исчезают. В результате получаем:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Здесь

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Матрица К называется матрицей жесткости.

Поскольку Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru - произвольный вектор, то можно сначала положить

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Тогда получим одно уравнение. Далее полагаем, что

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

и получаем 2-е уравнение и т.д.

В результате получаем столько уравнений, сколько неизвестных. Эту систему можно записать в следующем виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Решив эту систему уравнений, найдем перемещения каждого узла. После этого можно найти деформации и напряжения в элементах по соотношениям:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ,

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Задача Фламана

Рассмотрим задачу воздействия погонной силы Р на полубесконечное упругое тело.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.10.1

Это, например, расчетная схема давления на грунт ленточного фундамента.

Решение для этой задачи имеет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Проверяя уравнения равновесия (за исключением линии действия силы Р) для плоской задачи при qх = qz = 0, удостоверяемся, что оно удовлетворяется везде. Отметим также тот известный факт, что в линейной теории упругости решение единственно.

Проведем анализ решения.

При приближении к точкам приложения погонной силы P, (т.е. при Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru ) получаем, что Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Это означает, что вблизи точек приложения погонной силы P использовать решение для расчета на прочность бессмысленно. Однако как выяснится ниже, эти решения подобного типа можно использовать для определения поля напряжений при воздействии нагрузки, распределенной по площади.

Исследуем вопрос о том, как можно применить решение задачи Фламана в задаче о действии внешнего давления в плоской задаче. Для этого рассмотрим действие давления q(x) на полупространство (рис.10.2). То, что q не зависит от у означает, что оно не меняется в направлении Оу.

Найдем Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru . Возьмем площадку dξ на расстоянии ξ от начала координати перейдем от распределенной нагрузки к сосредоточенной силе dP= q dξ. Получаем задачу Фламана. Как известно, при переносе начала координат влево на расстояние ξ любая функция f записывается в виде:

f(х - ξ).

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.10.2 Рис.10.3

Тогда для силы dP решение можно записать в виде:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Такие же решения получим для других отрезков dξ, расположенных в других местах. Общее воздействие получим, суммируя напряжения от воздействия различных dP:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Пример. Пусть q = const = qo, а = 1. Тогда интегрируя, получим

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Аналогично можно найти Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

В этом случае бесконечных напряжений под нагрузкой не возникает (например, посередине при х=0.5 получим σх = 0.8183 q0). Поэтому при расчете ленточных фундаментов вместо сосредоточенной силы необходимо задавать нагрузку q(х), близкую к реальному распределенному давлению на основание.

Задача о трубе

Самую большую трудность в теории упругости всегда составляет удовлетворение уравнений равновесия элементов на границе и условий закрепления, но для ряда задач удается получить точное решение.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.11.4

В этой задаче решение имеет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Сi – константы интегрирования уравнения. Их находят из условий равновесия граничных элементов 1 и 2. Выражения для них имеют вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Здесь r и R - внутренний и внешний радиусы трубы. Рассмотрим, например, случай отсутствия внутреннего давления. Тогда

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Так как R > r, то C3<0, а также ½С2/p½<½C3½, то видно, что sr уменьшается к центру, s Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru , наоборот, увеличивается к центру. Эпюры напряжений приведены на рис. 11.5. Чтобы проверить на прочность надо проанализировать условие:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.11.5

Форма кривой sэфф сильно зависит от отношения Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Задача Кирша

Это задача о растяжении бесконечной пластины с круглым отверстием.

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.12.1

Оказывается, что система уравнений в полярной системе координат позволяет решить и кососимметричные задачи. Одной из них является задача о растяжении пластины с отверстием (пластина считается бесконечной). Задача Кирша знаменита тем, что позволяет найти (sj)max. Оказывается, что (sj)max = 3р. Независимо от размеров и от упругих характеристик материала оно возникает в точке В.

Задачи подобного типа для разных видов отверстий называются задачами о концентрации напряжений.

Следствие: при расчете даже простых тел (типа стержней при растяжении), но с круговыми отверстиями (даже для малого размера отверстия) мы должны увеличивать в 3 раза напряжение, вычисляемое по формуле Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Рис.12.2

Задачи термоупругости

Запишем закон Дюгамеля-Неймана (закон линейного температурного расширения), который гласит, что при изменении температуры тела на величину Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru оно изменяет свои линейные размеры. Температурная линейная деформация при этом прямо пропорциональна перепаду температуры:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru .

Тогда обобщенный закон Гука с учетом закона Дюгамеля- Неймана примет вид:

Основы теории упругости и элементы теории пластин и оболочек: Учебное пособие / Р.А.Каюмов – Казань: Изд-во Казанск. гос. архитек.-строит. ун-та. 2016. 111 с. - student2.ru

Для изотропного тела изменение температуры не приводит к сдвигам, поэтому:

Наши рекомендации