Использование линий влияния для расчета конструкций
Линии влияния можно использовать для решения различных задач при проектировании конструкций.
1. Загружение конструкции системой сил, приложенных на линии перемещения единичной силы и направленных параллельно этой силе. Рассмотрим балку, к которой приложены силы и , а также распределенная нагрузка от собственного веса q(рис. 2.10, а). Необходимо определить изгибающий момент в сечении С-С от всех нагрузок.
Построим линию влияния изгибающего момента Мс в сечении С-С, перемещая единичную силу по балке (рис. 2.10, б). Ордината линии влияния ц1 равна изгибающему моменту в сечении С-С от единичной нагрузки, приложенной в месте расположения этой ординаты. С учетом линейности свойств данной системы можем утверждать, что момент в сечении С-С от силы Fltприложенной там же, будет в раз больше, т. е. . Здесь F1по существу безразмерная величина, показывающая, во сколько раз сила больше, чем , и равная числовому значению силы Наосновании принципа суперпозиций (независимости действия сил) значение изгибающего момента от нескольких сил находится как (2.1)
Определим по линии влияния изгибающий момент от распределенной нагрузки. Бесконечно малый участок распределенной нагрузки qdxможно рассматривать как сосредоточенную силу (рис. 2.10, а). Следовательно, изгибающий момент, создаваемый этой силой, . Изгибающий момент от всей распределенной нагрузки найдем интегрированием:
График не является интегрируемой функцией, поэтому записываем сумму интегралов по участкам. Если
Рис. 2.10. Схема к расчету конструкций по линиям влияния |
то эту величину можно вынести за знак интеграла, после чего получится
где — площадь под линией влияния, вычисленная алгебраически.
Суммарный изгибающий момент в сечении С-С от сосредоточенных сил и распределенной нагрузки
Суммирование здесь производится алгебраически, с учетом знаков ординат и направления нагрузок Ftи q.Если нагрузка направлена в ту же сторону, что и единичная сила, то она считается положительной.
Аналогичным образом по соответствующим линиям влияния могут быть найдены опорные реакции, перерезывающие и продольные силы в любом сечении конструкции от системы нагрузок.
2.Наиболее неблагоприятное расположение системы связанных грузов. По конструкции передвигается тележка, опирающаяся, например, на два колеса. Необходимо найти такое положение тележки, при котором какой-либо силовой фактор (например, изгибающий момент в заданном сечении) достигает максимального значения. Для при-
Рис. 2.11. Схема поиска наиболее неблагоприятного для сечения С-С положения тележки |
мера рассмотрим нахождение максимального изгибающего момента в сечении С-С (рис. 2.11).
Построим линию влияния момента Мс в сечении С-С. При произвольном положении тележки изгибающий момент от двух сил F}и F2 равен сумме (2.7): Пока тележка движется по участку , момент MCFизменяется линейно и, следовательно, при этом экстремум невозможен. Перелом на графике MCF(x)может произойти только при переходе одного из колес через вершину линии влияния. Таким образом, для определения максимального значения следует проверить значение момента MCF(x)при двух положениях тележки (поз. 1 и 2), при (рис. 2.11). Кроме того, следует проверить экстремум на консоли (в данном примере на правой), т. е. значение момента MCF(x)при (поз. 3).
3.Определение наиболее загруженного сечения двухопорной балки без консолей. Рассмотрим балку, по которой движется тележка на двух колесах, загруженных силами F.Найдем положение сечения, в котором при движении тележки возникает наибольший изгибающий момент. Это необходимо для расчета балки на прочность.
Как уже показано в предыдущем примере, наибольший момент в сечении получается при расположении одного из колес над этим сечением (рис. 2.12, а). Изгибающий момент,создаваемый двумя колесами в сечении под правым колесом, согласно (2.5), (2.7) и рис. 2.12, б
Для определения наиболее загруженного сечения продифференцируем это выражение пос:
Из условия найдем координаты сечения
(2.8)
Таким образом, наибольший изгибающий момент в балке возникает под правым колесом при расположении его на расстоянии 0,25b правее центра пролета. Не сложно показать, что такой же момент возникнет под левым колесом при расположении его на расстоянии 0,256 левее центра пролета.
При этом максимальный изгибающий момент в балке
(2.9)
Максимальная ордината линии влияния перерезывающей силы (2.6). Следовательно, сечение, в котором действует наибольшая перерезывающая сила в двухопорной балке, располагается вблизи опоры прис —>L(рис. 2.12, в).
4.Наибольший размах напряжений в балке. При расчете конструкций на сопротивление усталости встает вопрос о положении сечения, в котором при движении нагрузки возникает наибольший размах напряжений .
Найдем положение этого сечения для рамы с консолью, считая, что по ригелю перемещается одна сила F(рис. 2.13, а).
Поскольку напряжения в сечении С-С пропорциональны значениям изгибающего момента, можем также воспользоваться линией влияния изгибающих моментов Мс (рис. 2.13, б). Размах момента . Подставим значения ординат линии влияния из (2.5) при и получим
IС |
б) |
Для нахождения максимума продифференцируем эту функцию пос:
И из условия найдем координату сечения, в котором возникает наибольший размах напряжений,
(2.10)
Для примера, приведенного на рис. 2.13, приК = 0,5Lполучается, что наибольший размах напряжений имеет место в сечении, расположенном на расстоянии от опоры (рис. 2.13, в).
5.Наибольшее усилие в оттяжке. В стреловых кранах с переменной грузоподъемностью максимальная допустимая нагрузка на тележку F(x) меняется в зависимости от ее положения на стреле. Рассмотрим методику определения наибольшего усилия в оттяжке балочной стрелы (рис. 2.14, а). По ней движется тележка, загруженная весом груза F(x). Зададим зависимость F{x)от вылета х формулой (рис. 2.14, б, кривая 1):
где Fmax— максимальная грузоподъемность; М — грузовой момент; а и b— параметры конструкции крана. В данном примере принято: Fmax= 100 кН; М = 1000 к-Нм; а = 13 м; b= 3 м; с - 20 м.
Усилие в оттяжке от единичной силы, приложенной на расстоянии х от корня стрелы, вычисляется из условия равновесия стрелы
Отсюда уравнение линии влияния получается как (кривая 2)
Рис. 2.14. Определение наибольшего усилия в оттяжке: 1 — график грузоподъемности F(x); 2 — линия влияния усилия в оттяжке; 3 — график зависимости усилия в оттяжке от положения груза S(x) |
Усилие в оттяжке от переменной нагрузки F(x),действующей на тележку (рис. 2.14, б, кривая 3),
Как видно из приведенных графиков, при постоянном весе груза наибольшее усилие в оттяжке получается при расположении тележки на максимальном вылете (кривая 2). Но в данном случае при переменной грузоподъемности максимум S(x)возникает при расположении тележки на границе участка, которому соответствует максимальная нагрузка Fmax,то есть при х = а (кривая 3).
6.Узловая передача нагрузки. Эта задача возникает в тех случаях, когда нагрузка перемещается не непосредственно по конструкции, а по рельсовому пути, представляющему собой ряд дополнительных однопролетных балок (рис. 2.15, а). Этот же подход используют при необходимости определить продольные усилия в стержнях ферм без учета местного изгиба (п. 2.3.3).
Пусть произвольный график (рис. 2.15, б) есть линия влияния какого-либо силового фактора Uпри движении единичной нагрузки непосредственно по основной балке. Требуется построить линию влияния (U2) того же фактора при перемещении нагрузки по дополнительным балкам (по
Рис. 2.15. Линии влияния при узловой передаче нагрузки |
верхнему пути). В этом случае при расположении единичной силы в точкахС, D, Е и Fполучится ,так как сила через дополнительные опоры передается на нижнюю балку без изменения (рис. 2.15, б). Теперь необходимо установить, как пойдет линия влияния U2между этими точками.
Если сила находится на расстоянии х от опоры D(рис. 2.15, в), то реакции D= 1 - х/а, Е = х/а. Следовательно, основная балка будет загружена такими же по абсолютному значению, но направленными в противоположную сторону силами. При этом силовой фактор Uсогласно (2.7) вычисляется как
где , - ординаты линии влияния под силами Dи Е. Это выражение является линейной зависимостью, проходящей через точки (рис. 2.15, б). Такую линейную зависимость называют передаточной прямой.
Таким образом, линия влияния любого силового фактора при узловой передаче нагрузки (U2) получается из линии влияния, построенной при непосредственном загружении основной конструкции (U1), путем соединения передаточными прямыми точек исходной линии влияния, расположенных под опорами дополнительных балок.