Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП

Пусть задана стандартная математическая модель задачи с двумя неизвестными:

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru (1.7)

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru (1.8)

Нахождение решения этой модели на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы.

1. В плоскости х10 х2 строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (1.7) модели знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, определенные каждым неравенством системы.

3. Находят выпуклый многоугольник решений всей системы (1.7).

4. Строят нормальный вектор целевой функции Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru , причем, начало вектора совмещают с началом координат и строят прямую Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru .

5. Передвигают эту прямую в направлении вектора Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru , в результате либо находят вершину или отрезок, в которой целевая функция принимает наибольшее значение, либо устанавливают неограниченность сверху этой функции на множестве допустимых решений.

6. Если функция ограничена, то определяют Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru и вычисляют значение функции в этой точке Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru .

При геометрической интерпретации задач ЛП могут встретиться случаи, изображенные на рис. 2.1. - 2.4.

Рис. 2.1. задача ЛП имеет единственное решение Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru .

Рис. 2.2. задача ЛП имеет бесчисленное множество решений, т.к. целевая функция достигает максимума на отрезке [М; N].

Рис. 2.3. задача ЛП не имеет решения, т.к. функция неограниченна сверху.

Рис. 2.4. задача ЛП не имеет решения, т.к. система (1.7) несовместна.

 
  Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

Рис. 2.1. Рис. 2.2.

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

Рис. 2.3. Рис. 2.4.

Пример. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья S1 , S2 , S3. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице 2.1.

Прибыль от реализации одного изделия каждого вида равна с1и с2 , а общее количество сырья вида Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru равно Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru , Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru . Считая, что изделия А и В могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), требуется составить такой план их выпуска, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий будет максимальной.

Сырье А В Запасы
S1 а11 = 12 а12 = 4 в1 = 300
S2 а21 = 4 а22 = 4 в2 = 120
S3 а31 = 3 а32 = 12 в3 = 252
Прибыль с1 = 30 с2 = 40  

Решение. Обозначим через х1 и х2количествоизделий первого и второго вида в плане предприятия. Поскольку производство продукции ограничено только сырьем каждого типа Si, то получим условия:

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru 12х1 + 4х2 £ 300,

1 + 4х2 £ 120, (1)

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru1 +12х2 £ 252,

Переменные х1 и х2 не могут быть отрицательными по смыслу задачи.

Вычислим прибыль от реализации продукции и получим:

 
  Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

Итак, мы получили стандартную модель с двумя переменными.

Решим задачу линейного программирования геометрически, придерживаясь плана, приведенного ранее.

1. Строим прямые l1, l2, l3:

l1 : 12х1 + 4х2 = 300, по двум точкам А1 (25, 0) и В1 (0; 75);

l2 : 4х1 + 4х2 = 120, по двум точкам А2 (30; 0)и В2 (0, 30);

l3 : 3х1 + 12х2 = 252, по двум точкам А3 (84, 0 )и В3 (0, 21).

Обратимся к неравенствам (1). Отметим те полуплоскости, которые им удовлетворяют. Учтем на чертеже и неотрицательность переменных х1 и х2,и получим многоугольник ОВ3ЕСА1 решений данной системы неравенств (см. рис. 2.5).

2. Построим нормальный вектор Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru и прямую (l): 30х1+40х2 = 0.

3. Передвигая прямую в направлении вектора Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru , получим, что в точке Е (12, 18) целевая функция будет иметь наибольшее значение. Координаты этой точки находим как координаты точки пересечения прямых Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru и Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru , решая систему уравнений:

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

4. Запишем окончательный ответ:

Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

 
  Геометрическая иллюстрация решения задач ЛП - student2.ru

Рис. 2.5.

Наибольшая прибыль будет равна 1080 (у.е).

Наши рекомендации