Интервальные оценки (доверительные интервалы)

Доверительным интервалом (ДИ) для параметра J, соответствующим доверительной вероятности g (обычно g = 0,95), называется интервал J_g(J) = ( , ), где и - нижняя и верхняя границы, которые определяются по выборочным данным так, чтобы , т.е. вероятность “накрытия” интервалом неизвестного значения параметра J равна доверительной вероятности (уровню доверия) g. Нижняя и верхняя границы доверительного интервала являются СВ так как определяются по результатам наблюдений. Полуширина доверительного интервала определяет точность оценки, а g = 1 - a - ее достоверность, a - уровень значимости.

Постановка задачи. Пусть СВ X ~ N(m, s). По выборке объема n требуется построить ДИ для параметров m и s с уровнем доверия g, т.е.:

J_g(m) = ( , ) и J_g(s) = ( , ).

ДоверительныЙ интервал J_g(m) = ( , )

Случай I (s = s₀ - известная величина). Будем искать симметричный ДИ в виде J_g(m) = ( , ) = ( -e, +e), где - выборочное среднее параметра m. Тогда остается найти e > 0, соответствующее доверительной вероятности g, чтобы P{ -e < m < +e} = g. Если X ~ N(m, s₀), тогда СВ ~ N(m, s₀/ ). Следовательно . Тогда e = d×s₀/ и 2Ф(d) - 1 = g. Определим из этих двух уравнений d и e.

Очевидно, что d = t_(g+1)/2 - квантиль уровня (g+1)/2 нормального распределения, который находится по соответствующим таблицам.

Тогда e(g) = t_(g+1)/2×s₀/ . Тем самым получен ДИ для параметра m следующего вида:

J_g(m) = ( , ) = ( -e, +e), где и e = t_(g+1)/2×s₀/ .

Пример. Измеряется глубина проникания L с помощью прибора, которое имеет среднеквадратичное отклонение погрешности измерения s₀ = 10 мм. Проведено четыре измерения и определено выборочное среднее = 152 мм. Считая, что L ~ N(m, s₀), определить доверительный интервал глубины L с уровнем доверия g = 0,9.

Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 нормального распределения: t_(g+1)/2 = t_0,95 = 1,65.

Следовательно J_0,95(m) = ( , ) = ( - e, + e), где e = t_0,95×s₀/ = 1,65×10/2 = 8,25. Тогда J_0,95(m) = ± e = 152 ± 8,3 мм.

Задача 2. Как изменится доверительный интервал глубины L в рассмотренном примере, если доверительная вероятность g уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительная вероятность g, если в два раза увеличить число измерений?

ДоверительныЙ интервал J_g(m) = ( , )

Случай II (s - неизвестная величина). Будем искать симметричный ДИ в виде J_g(m) = ( -e, +e), где - выборочное среднее параметра m. Для построения “точного” ДИ воспользуемся тем, что СВ ~ t_n-1, где - точечная оценка дисперсии D[X]. Если s_(g+1)/2 - квантиль уровня (g+1)/2 распределения Стьюдента с (n-1) степенью свободы, то справедливо следующее:

P{½T½ < s_(g+1)/2} = P{-s_(g+1)/2 < T < s_(g+1)/2} = P{T < s_(g+1)/2} - P{T < -s_(g+1)/2} = P{T < s_(g+1)/2} - P{T < s_(1-g)/2} = (g+1)/2 - (1-g)/2 = g.

Тогда P{½ -m½ < s_(g+1)/2× } = g,

где S² - точечная оценка дисперсии D[X]. Следовательно e(g) = s_(g+1)/2× , где s² - выборочное значение дисперсии D[X]. Тем самым получен ДИ для параметра m следующего вида:

J_g(m) = ( , ) = ( -e, +e), где , e = s_(g+1)/2× и .

Пример. Пусть измеряемая величина X ~ N(m, s) является пределом текучести материала. По четырем испытаниям установлены: выборочное среднее = 400 МПа и выборочное значение дисперсии s² = 16 (МПа)². Требуется определить ДИ для M[X] с уровнем значимости a = 0,1.

Решение. Сначала определим квантиль уровня 0,95 распределения Стьюдента с 3 степенями свободы: s_(g+1)/2 = t_{3; 0,05} = 2,35. Следовательно J_0,9(m) = ( - t_{3; 0,05} × , + t_{3; 0,05} × ) = (400 - 4,7; 400 + 4,7) МПа.

Задача 1. Как изменится доверительный интервал X в рассмотренном примере, если доверительная вероятность g уменьшиться в 1,5 раза? Как изменится доверительный интервал, если положить, что s² = s² ?

ДоверительныЙ интервал J_g(s) = ( , )

Постановка задачи. Пусть СВ X ~ N(m, s), где m и s - неизвестные параметры. По выборке объема n требуется построить ДИ для параметра s с уровнем доверия g.

Для этого воспользуемся тем, что СВ ~ c²_n-1, где - точечная оценка дисперсии D[X]. По таблицам c² - распределения найдем квантили уровня (1-g)/2 и (g+1)/2 распределения Пирсона с (n-1) степенями свободы x _(1-g)/2 и x _(g+1)/2, для которых справедливо:

P{x _(1-g)/2 < W < x _(g+1)/2} = P{W < x _(g+1)/2} - P{W < x _(1-g)/2} = (g + 1)/2 - (1 - g)/2 = g.

Проводя элементарные преобразования, получаем:

P{(n-1)S²/x _(g+1)/2 < s² < (n-1)S²/x _(1-g)/2} = g и P{[(n-1)S²/x _(g+1)/2]^1/2 < s < [(n-1)S²/x _(1-g)/2]^1/2} = g,

где S² - точечная оценка дисперсии D[X]. Тем самым получены ДИ для параметров s² и s:

J_g(s²) = ( (n-1)s²/x _(g+1)/2, (n-1)s²/x _(1-g)/2 ) и J_g(s) = ( [(n-1)s²/x _(g+1)/2]^1/2, [(n-1)s²/x _(1-g)/2]^1/2 ),

где x _(1-g)/2 и x _(g+1)/2 - квантили уровня (1-g)/2 и (g+1)/2 распределения Пирсона с (n-1) степенями свободы;

s² - выборочное значение дисперсии D[X].

Пример. Пусть измеряемая величина X ~ N(m, s) - давление газа. По четырем испытаниям установлены: выборочное среднее = 120 МПа и выборочное значение дисперсии s² = 4 (МПа)². Требуется определить ДИ для s_X с уровнем значимости a = 0,1.

Решение. Сначала определим квантили уровня 0,05 и 0,95 распределения Пирсона с 3 степенями свободы: x_0,05 = c²_{3; 0,95} = 0,35 и x_0,95 = c²_{3; 0,05} = 7,8. Следовательно J_0,9(s_X) = (1,24; 5,8) МПа.

Задача 2. Как изменится доверительный интервал X в рассмотренном примере, если доверительная вероятность g уменьшиться в 1,5 раза?

монотонные преобразования параметров

Пусть j(x) - некоторая монотонная функция, тогда, зная ДИ для параметра J, можно найти ДИ для x = j(J). Действительно:

n если j(x) - возрастающая функция, то: = j( ), = j( ).

n если j(x) - убывающая функция, то: = j( ), = j( ).

Пример. Вероятность выхода из строя одного элемента системы равна p. Вероятность выхода из строя всей системы, состоящей из m (m > 1) параллельно соединенных элементов равна P. Требуется определить ДИ уровня g для вероятности P, если J_g(p) = (p₁, p₂).

Решение. Так как P = p^m и p^m - монотонная возрастающая функция для любых значений p, то J_g(P) = (p₁^m, p₂^m).