Доверительные интервалы

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормальной случайной величины..... 8

6 Доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормальной случайной величины.........................................................9

7 Критерий согласия.....................................................................10

Исходные данные:

Доверительные интервалы - student2.ru

Построение интервального вариационного ряда

Элементы выборки, расположенные в порядке возрастания, образуют так называемый вариационный ряд. Пусть l - число различных выборочных

значений в данной выборке. Таблица 1 также называют вариационным

рядом:

Таблица 1. Вариационный ряд.

X Частоты Кол. X Частоты Кол. X Частоты Кол. X Частоты Кол.
     
     
     
           
           
           
     
     
     
     
     
           
                 

В таблице 2 приведены основные данные по вариационному ряду:

Таблица2. Основные данные по вариационному ряду.

X max
X min
Объём выборки (n)

Для определения оптимальной длины интервала можно использовать формулу Стерджеса:

Доверительные интервалы - student2.ru

Доверительные интервалы - student2.ru

так как число h дробное, принимаем ближайшее целое – 10, то есть длина интервала – 10.

За начало первого интервала принимают величину

Доверительные интервалы - student2.ru

округлим до 10, таким образом, построим интервальный вариационный ряд:

Таблица 3. Интервальный вариационный ряд.

  X N (частоты) Относительная частота
1 интревал 10-20 0,05
2 интревал 20-30 0,1
3 интревал 30-40 0,17
4 интревал 40-50 0,2
5 интревал 50-60 0,19
6 интревал 60-70 0,15
7 интревал 70-80 0,12
8 интревал 80-90 0,02

Затем интервальный вариационный ряд условно заменяют дискретным, в

первой строке которого записывают средние значения интервалов (табл. 4):

Таблица 4. Дискретный ряд.

X среднее
Относительная частота 0,05 0,1 0,17 0,2 0,19 0,15 0,12 0,02

Доверительные интервалы - student2.ru

Гистограмма и полигон

Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,

основания которых – интервалы длины h, а высоты - Wi/ h, т. е. площадь

каждого прямоугольника равна соответствующей относительной частоте.

Таблица 5. Данные для построения гистограммы и полигона.

  1 интревал 2 интревал 3 интревал 4 интревал 5 интревал 6 интревал 7 интревал 8 интревал
  20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90
X средн
h 9,811616954
W/h 0,005096 0,010 0,017 0,0203 0,01936 0,01528 0,0122 0,002038
                               

.

Доверительные интервалы - student2.ru

Рисунок 1 – Гистограмма.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой

соединяют точки (Wi, x), где x - середины интервалов, Wi- соответствующие им относительные частоты. Обычно по виду полигона выдвигают гипотезу о законе распределения дискретной случайной величины.

Доверительные интервалы - student2.ru

Рисунок 2 – Полигон.

Точечные оценки параметров

Предположим, что по виду гистограммы или полигона выдвинута гипотеза о виде закона распределения случайной величины. Возникает необходимость

определить неизвестные параметры этого закона распределения.

Доверительные интервалы - student2.ru

Таблица 6. Оценка выборочного среднего и выборочной дисперсии.

X среднее n X·n Доверительные интервалы - student2.ru Доверительные интервалы - student2.ru Доверительные интервалы - student2.ru Доверительные интервалы - student2.ru
49,1 -34,1 5814,05 304,19
-24,1 5808,1
-14,1 3379,77
-4,1 336,2
5,9 661,39
15,9 3792,15
25,9 8049,72
35,9 2577,62
Сумма
  7,2  

Доверительные интервалы

Точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Чтобы дать представление о точности и надежности точечной оценки, строят доверительные интервалы.

Доверительные интервалы - student2.ru

Наши рекомендации