Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

dx; dx; dx.

Для отыскания этих интегралов сначала выделяют полный квадрат из трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен

ах² + bx + с = а (х² + х + ) = а [(х + )² + - ] = а [(х + )² ± k²].

В дальнейшем интегралы указанных видов вычисляются методом замены переменной или выделением целой части.

Пример. Найти интеграл dx.

Решение.

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат

2х² – 3х + 1 = 2(х² – х + ) = 2[(х – )² + – ] = 2[(х – )² – ].

Положим х – = t тогда dt = dx. Проведем замену переменной.

dx = dt = dt = dt = - - dt = ∙ ∙ln - ∙4 = ln - 2 ln|t² - | = ln = ln .

Возвращаясь к переменной х, находим:

dx = ln = ln + С.

٭ ٭

٭

201. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

202. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

203. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

204. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

205. Найти интегралы методом замены переменной:

а) ; с) dx;

b) dx; d) dx.

206. Найти интегралы методом замены переменной:

а) ; с) dx;

b) dx; d) dx.

207. Найти интегралы методом замены переменной:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) .

208. Найти интегралы путем интегрирования по частям:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

209. Найти интегралы путем интегрирования по частям:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

210. Найти интегралы путем интегрирования по частям:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

211. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

212. Найти интегралы:

а) , подстановка cos x = t;

b) , подстановка sin x = t.

213. Найти интегралы, используя подстановку :

а) ; с) ;

b) ; d) dx.

214. Найти интегралы:

а) ; с) ;

b) ; d) dx.

215. Найти интегралы:

а) dx; с) dx;

b) dx; d) dx.

§2. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Простейшие свойства определенного интеграла

Интегралом от а до b функции f(x) называется приращение первообразной F(х) этой функции, т.е. F(b) – F(а).

Интеграл от а до b функции f(x) обозначается . Числа а и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним; отрезок [а; b]– отрезком интегрирования.

Простейшие свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов меняется знак интеграла

= - .

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен 0

= 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части

= + .

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница.

= = F(х) = F(b) – F(а).

Определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

= = = = - - = ∙5 - ∙1 = = 2 .

Ответ: 2 .

Площадь плоской фигуры

Площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси О_х или оси О_у.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S = = F(b) – F(а).

В том случае, когда непрерывная функция f(x) ≤ 0 на отрезке [а; b], площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S = - = F(а) – F(b).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и принимает на данном отрезке как положительные, так и отрицательные значения, то отрезок интегрирования разбивается на такие части, в каждой из которых функция

сохраняет свой знак. Затем вычисляются площади каждой криволинейной трапеции и находится их сумма. S = - + .

Рис. 13

		Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f(x) и g(x) и двумя прямыми х = а и х = b где f(x) ≥ g(x) на отрезке [а; b], находится по формуле S = - . S = .

f(x)

Рис. 14.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = 4, у = х² – 4х + 6, у = 2.

Решение.

Найдем пределы интегрирования - точки пересечения данных линий. Имеем а = 2, b = 4, причем х² – 4х + 6 ≥ 2. следовательно площадь фигуры, ограниченной данными линиями равна

S = – = = = – +4х = = – 32 + 16 – ( – 8 + 8) = – 16 = 18 – 16 = 2 (кв.ед.)

Ответ: S = 2 кв.ед.

Объем тела вращения

Если тело образуется при вращении вокруг оси О_х криволинейной трапеции прилежащей коси О_х, его объем определяется по формуле

V = , (х₁ < х₂).

Если тело образуется при вращении вокруг оси О_у криволинейной трапеции прилежащей к оси О_у, его объем определяется по формуле

V = , (у₁ < у₂).

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у² = 2рх, х = а вокруг оси О_х.

Решение.

V = = = рх² = ра².

Ответ: V = ра².

٭ ٭

٭

216. Вычислить определенные интегралы:

а) dx; с) ;

b) dx; d) dx.

217. Вычислить определенные интегралы:

а) dx; с) dx;

b) ; d) dx.

218. Вычислить определенные интегралы:

а) ; с) ;

b) dx; d) dx.

219. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 6х - х² и осью абсцисс.

220. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 2х + 3, у = 0, х = -1, х = 2;

b) у = 5х – 3х², у = 0;

с) у = , у = 0, х = 1, х = 3;

d) у = , у = 3, х = 0.

221. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 2sin х, у = 0, х = - π, х = 0;

b) у = , у = 0, х = 1, х = 6;

с) у = х – 1, у = 0, х = 0, х = 6;

d) у = 2х² – 2, у = 0, х = 2.

222. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х², у = , у = 0, х = 3;

b) у = cos x, у = х + 1, х = -2, х = ;

с) у = х² – 4, у = х – 2;

d) у = sin х, у = cos x .

223. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) х + 4у – 9 = 0, 2х – 3у + 4 = 0,3х + у – 16 = 0;

b) у = , у = - х² + 2х + 0,5, у = 0,5х + 0,5;

с) у = -х² – 2х + 7, у = -х² – 4х + 7, у = -4х + 6;

d) у = sin х, у = 2sin x, х = 0, х = π.

224. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) х² + у² = 9, х = -1;

b) у = , х = , х = 2;

с) у = х² – 3, х = -2, х = 3;

d) у = sin х, х = 0, х = π.

225. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

а) у = , х = 1, х = е;

b) у = ln x, х = 1, х = е;

с) у = -х² – 2х – 3, х = -1, х = 3;

d) у = sin 2х, х = 0, х = .

226. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс эллипса .

227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной параболами у = х² и х = у².

228. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной окружностью х² + у² = 4 и прямой у = х.

229. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кубической параболой у = х³ и параболой х = у².

230. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривой у = sin 2х и прямой у = х.

Глава 6. Дифференциальные уравнения