Старинные задачи из олимпиадных заданий
Сегодняшние дети удивляются находчивости, мудрости их предков. Иногда кажущиеся простыми на вид задачи требуют напряжение ума и воли. На примере задач рассмотрим различные способы решения.
1. У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 5 голов и 14 ног. Сколько кур и кроликов имеет фермер?
Способы решения этой задачи. Есть 4 способа решения этой задачи:
1 способ: метод подбора:
2 кролика, 3 курицы.
2 способ: перебор вариантов
Решение таким методом лучше оформить в виде таблицы:
| Количество голов | Количество ног | Всего | |||
| кролики | куры | кролики | куры | голов | ног |
| 2 | 3 | 8 | 6 | 5 | 14 |
Ответ: 2 кролика и 3 курицы.
3 способ: Арифметический. Метод предположения:
а) метод предположения по избытку.
Предположим, что в клетке только кролики, тогда у них 4х5=20 (ног), т.е. 6 ног «лишние». Эти ноги принадлежат курам. Так как у курицы 2 ноги,
то 6 : 2 = 3 (курицы)5 – 3 = 2 (кролики)
б) метод предположения по недостатку:
предположим, что в клетке были только куры:
5 х 2 = 10, т.е. не достает 4 ноги. Они принадлежат кроликам: 4:2 = 2 (кролика)
5 – 2 = 3 (куры)
Ответ: 2 кролика и 3 курицы.
4 способ: Алгебраический
а) составление уравнения:
х – кролики 5 – х – куры
4х + 2(5 – х) = 14
4х + 10 – 2х = 14
4х – 2х = 14 – 10
2х = 4
х=4:2
х=2 (кролики) 5 – 2 = 3 (курицы)
2. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!». «Нас не сто гусей, - отвечает ему вожак стаи, - если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да еще четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько в стае гусей?
Решение задачи:
1 способ: метод подбора
Рассуждают, что гусей больше 30, но меньше 40, причем число гусей должно делиться на 2 и на 4. Итак, проверяют числа 32,34,36,38, одновременно на 2 и на 4 делятся 32 и 36.
Проверка: 32 + 32+32:2+32:4+1=89, 89 < 100, то 32 не подходит.
36+36+36:2+36:4+1=100, 100=100, то 36 подходит. Значит, гусей 36
2 способ: алгебраический метод:
х – количество гусей, то получим уравнение:
х+х+х:2+х:4+1=100
общий знаменатель: 4
4х+4х+2х+х+4=400
11х=400-4
11х=396
х= 396:11
х=36
проверка: 36+36+36:2+36:4+1=100
ответ: 100 гусей.
3. Два крестьянина расположились у лесной опушки закусить. В это время к ним подошел путник и попросил поделиться завтраком, и пообещав уплатить, что следует. Те согласились и достали скудный завтрак: у одного крестьянина было 2 хлебца, а у другого такой же один. Все втроем закусили, причем ели поровну. Уходя, путник уплатил за свою долю 5 копеек. Как крестьяне должны разделить эти деньги между собой?
Ответ: Трое съели 3 хлебца. Следовательно, каждый съел по 1 хлебцу. Поэтому тот крестьянин, был один хлебец не получает ничего, а все 5 копеек должны остаться крестьянину, у которого было 2 хлебца.
Эта задача на сообразительность и поэтому решения не имеет, только логически рассуждая можно дать правильный ответ на вопрос задачи.
Аналогичная задача на сообразительность, не требующая решения:
Летело стая гусей: один гусь впереди, а два позади; один позади и два впереди; один между двумя и три в ряд. Сколько всего было гусей?
Ответ: 3 гуся.
4. По три собаки привязано в трех местах. Сколько у них когтей?
Эта задача решается только арифметическим способом.
1 способ: 4х4х3х3=144 (когтей) у девяти собак
2 способ:3х3=9 (собак) всего
4х4=16 (когтей) у одной собаки, так как якуты убирают у собак верхний пятый коготь.9х16=144 (когтей) у девяти собак
Ответ: 144 когтя.
Школьная математика и логические рассуждения дают возможность решить любую старинную задачу.
Заключение
В заключение работы хотелось бы отметить, что еще в X в. у восточных славян развитие математических знаний шло очень быстро в связи с ростом сельского хозяйства и различного вида ремесел и техники производства вооружения, и оно даже превзошло развитие многих западных стран. Но уже в XII в. татаро-монгольское нашествие привело к полному подрыву русской экономики и культуры. Замерло и развитие математики. Первые признаки дальнейшего развития математики и подъема культуры появились лишь в XVII в. после свержения татаро-монгольского ига.
В свое время известный философ И. Кант сказал: «В каждой науке ровно столько истины, сколько в ней математики». Да, действительно математика является царицей всех наук, но она и сама служит верой и правдой всем наукам. Расцвет в любой отрасли науки и техники зависит от того, как глубоко математика проникла в эти отрасли, насколько вооружила их математическим аппаратом, на каком уровне в этих областях используются современные методы математического моделирования различных процессов механики, физики, химии, биологии, медицины, экономики, социологии, управления, психологии, истории, филологии и т.д. Без математики немыслимо развитие любых наук, любой отрасли знаний, любой новой техники. Поэтому развитие и самой математики как науки всегда имело, имеет и будет иметь огромное значение для продвижения научно-технического прогресса на Земле. Ведь наше время — период бурного развития техники, невиданного за всю историю человечества. Огромных успехов достигло развитие различных отраслей промышленности — горное дело, машиностроение, металлургия, авиация и космонавтика. Мощные темпы развития современной техники стимулируют развитие научных исследований, ставят перед учеными все новые, более сложные математические задачи. Математика, как ни одна из наук, имеет огромное прикладное значение в различных сферах человеческой деятельности.
Моя гипотеза подтвердилась. Знание истории развития науки математики и постижение способов решения исторических задач помогает изучению данной увлекательной науки.
Проведенная работа интересна в познавательном отношении. Я ближе познакомилась со старинными русскими задачами. Выявила связь между способами решения старинных математических задач и сопоставила древнерусские математические задачи с современной математикой. Анкетные данные показывают, что подрастающее поколение недостаточно знакомо со старинными математическими задачами, а значит актуальна тема исследования.
История математических задач – это история торговли, ремесел, сельского хозяйства и строительства, а в конечном итоге – это часть истории человечества. Подводя итог работы, прихожу к выводу об актуальности данной темы. Как появилась математика, как изменялась, что несла народам и как влияли на их жизнь? Это интересно и сегодня.