Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек
Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек
Основные уравнения для круговых цилиндрических оболочек
Рассмотрим упрощенный вариант линейной теории, когда выпучивание сопровождается появлением мелких волн, размеры которых хотя бы в одном направлении малы по сравнению с размерами оболочки. В результате оболочку в пределах выпучины можно рассматривать как пологую. Например, в осесимметричном случае число выпучин вдоль окружности должно быть n≥4. Это условие выполняется для оболочек средней длины. По Даревскому В.М:
или
- деформации
- кривизны
- уравнение совместности деформаций
- уравнения равновесия на оси х,y и нормаль
- уравнения моментов
- обобщенный закон Гука
где 
где 
Подставим перерезывающие силы в 3-ье уравнение равновесия:
где 
Подставим деформации в уравнение совместности:
Введем функцию напряжений срединной поверхности Ф:
В результате получим:
(*)
Подставим вместо qфиктивную поперечную нагрузкуq0, равную сумме дополнительных проекций основных усилий px, py иs на направление нормали (усилие px – действует вдоль оси х, усилие py – вдоль касательной к оси y иусилие s - касательные)
В результате получим:
Применим оператор 
, а к (*) оператор 
, в результате получим одно уравнение:
Вариант уравнений линейной теории оболочек для случая слабовыраженного волнообразования по длине оболочки. В этом случае срединную поверхность считают нерастяжимой в дуговом направлении 
; отсутствуют сдвиги в срединной поверхности 
. Равны нулю также 
. Отличны от нуля лишь 
. В результате получим:
Отсюда 
- уравнение совместности деформаций
Уравнения равновесия примут вид
Где 
- внешняя нагрузка вдоль оси х, касательной к линии y и к оси z
Объединяя их получим
Закон Гука примет вид
Вводя переменные 
и пользуясь оператором 
получим
где 
Исключая 
и пользуясь уравнением 
после исключения оператора 
получим:
Этим уравнением пользуются для исследования оболочек средней и особенно большой длины в случае слабовыраженного волнообразования по длине оболочки. Линейная теория дает возможность исследовать устойчивость оболочки в малом. Полное решение задачи, включающее исследование потери устойчивости в большом, может быть дано с позиций нелинейной теории.
Оболочка большого прогиба.
- уравнение совместности деформаций, где 
Изменение кривизн, кручение, выражения для поперечных сил, закон Гука - прежние.
Третье уравнение равновесия примет вид:
В результате получим:
Где 
Оболочка с начальными прогибами 
где 
- полный прогиб
Граничные условия:А) шарнирное опирание 
Б) жесткая заделка (защемление) 
В) края оболочки свободно смещаются вдоль образующей и по дуге 
Г) несмещающиеся кромки 
Нелинейная задача
  Второй – отражает несимметричность прогиба относительно срединной поверхности с преимущественным направлением к центру кривизны; третий – соответствует радиальным перемещениям точек, принадлежащих торцевым сечениям х=0,L. |
Случай внешнего давления
 Из уравнения равновесия получаем      Обозначим   Примем   Минимизируяqпо n, получим:   Окружное напряжение равно   |
   |
Устойчивость при изгибе
  Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях  Деформации в срединной поверхности равны    После подстановки приравниваем коэффициенты при однородных членах, тогда приходим к трехчленным уравнениям относительно fn:  Здесь учитывалось, что  Ограничившись определенным числом параметров fn и вычислив определитель, то можно определить критическую нагрузку р0.  |
Коническая оболочка
Осевое сжатие конической оболочки  Считаем, что при потере устойчивости образуется большое число волн, длина которых невелика, поэтому s можно считать постоянной  Решение ищем в виде (l1 – расстояние вдоль образующей от вершины до большего основания, лямбда – длина волны)   Приравниваем нулю определитель системы и учитывая обозначение  получим  Минимизируем N по квадрату β, получим    где R0 – радиус кривизны срединной поверхности у большего основания  Внешнее давление конической оболочки    Внешнее давление усеченной конической оболочки    (гр. условия – большее основание шарнирное опирание, меньшее – жесткая заделка) |
Сферическая оболочка
   |   Сжимающие усилия и напряжения примем     Примем, что  где лямбда – неопределенный параметр (Власов)  Минимизируя сигма по квадрату лямбда    |
Эллипсоидальные оболочки
 Вытянутая оболочка  |   Сплющенная оболочка под внутренним давлением   |
Пологие оболочки
  |  Уравнения для оболочки, имеющей начальные отклонения от идеальной формы  Уравнения для пластинки с начальной погибью (  )   Оба подхода эквивалентны |
 | Панель прямоугольная в плане   Аналогично для y=0 и b     Введем безразмерные параметры   Для квадратной панели     |
Сферическая панель
Отличительные черты задач устойчивости стержней, пластин и оболочек