Функция распределения вероятностей

Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?

Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается .

Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от .

О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

.

Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки .

Свойства функции :

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.

.

2. Функция неубывающая, т.е.

, если .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:

1) при ;

2) при .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е.

.

График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:

Плотность распределения вероятностей

О.1.Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е.

.

Свойства функции :

1.Плотность распределения неотрицательная функция, т.е.
.

2.Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е.

.

3.Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле (Ньютона-Лейбница):

.

5. Если известна плотность распределения ,то функция распределения может быть найдена по формуле:

Числовые характеристики НСВ

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.

О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл:

.

O.2.Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла

.

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2.На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: .

O.3.Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

.

О.4.Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5.Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

.

27.Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл:

.

Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.

O.5.Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

.

28. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла

.

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.

Замечание 2.На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: .

O.3.Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е.

.

Биномиальное распределение

Пусть выполнены все условия схемы независимых испытаний Бернулли.

Рассмотрим в качестве ДСВ число появлений события в этих испытаниях. Т. е. величина может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле Бернулли:

, .

О. 2.Закон распределения вероятностей ДСВ называется биномиальным, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Бернулли.

31.Пуассоновское распределение

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний достаточно велико ( , а вероятность появления события очень мала .

Рассмотрим в качестве ДСВ число появлений события в этих испытаниях. Т. е. величина может принимать значения: .

Вероятности этих значений определяются по формуле Пуассона:

, .

О. 3.Закон распределения вероятностей ДСВ называется пуассоновским, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле Пуассона.