Аддитивные функции полезности.

Пусть Х представляет собой непустое подмножество декартова произведения п множеств , и пусть определено отношение предпочтения на Х. Будем говорить, что и является аддитивной функцией полезности для отношения на Х тогда и только тогда, когда она является вещественной функцией полезности на Х и существуют вещественные функции (определенные на соответственно), такие, что для всех из Х справедливо равенство

(5.1)

Аналогично и является совершенной аддитивной функцией полезности для отношения наX, если она совершенная функция полезности, и существуют функции полезности u_i, такие, что выполняется равенство (5.1).

Условие независимости

В большей части теоретических положений данного раздела используется понятие независимости предпочтений для отдельных факторов или характерных признаков. Сформулируем условия независимости, которые должны гарантировать аддитивность функции полезности, Рассмотрим сначала простое условие независимости, а затем введем более сложные условиина примереМногокритериальной теории полезности (MAUT)

Научное направление MAUT (Multi-Attribute Utility Theo­ry) отличают следующие особенности:

1) строится функция полезности, имеющая аксиоматиче­ское (чисто математическое) обоснование;

2) некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР;

3) решается обычно задача из второй группы, а полученные результаты используются для оценки заданных альтернатив.

Представим этапы решения задачи при подходе MAUT.

1. Разработать перечень критериев.

2. Построить функции полезности по каждому из критериев.

3. Проверить некоторые условия, определяющие вид общей функции полезности.

4. Построить зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритери­альная функция полезности).

5. Оценить все имеющиеся альтернативы и выбрать наи­лучшую.

Аксиоматическое обоснование

Точно так же, как и классическая теория полезности MAUT имеет аксиоматическое обоснование. Это оз­начает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), кото­рым должна удовлетворять функция полезности ЛПР. В случае, если условия удовлетворяются, дается математическое доказа­тельство существования функции полезности в том или ином виде. В MAUT эти условия можно разделить на две группы. Первая группа — аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности.

1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит другую, либо они равны.

2. А:ксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходст­ва полезности В над полезностью С следует превосходство по­лезности альтернативы А над полезностью альтернативы С.

3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид

U(A)>U(B)>U(C), можно найти такие числа а, b, которые меньше 1 и больше 0, так что:

аU( А)+ (1 –а)U(C)=U(B),

U(A)(1-b)+bU(B)>U(B).

Аксиома 3 основана на предположении, что функция по­лезности непрерывна и что можно использовать любые малые части полезности альтернатив.

Вторая группа условий специфична для MAUT. Они назы­ваются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.

Приведем несколько условий независимости.

1. Независимость по разности. Предпочтения между дву­мя альтернативами, отличающимися лишь оценками по по­рядковой шкале одного критерия C₁, не зависят от одинако­вых (фиксированных) оценок по другим критериям С₂,..., C_n. На первый взгляд это условие кажется естественным и оче­видным. Но возможны случаи, когда оно не выполняется. Так, в статье Р. Хампфриса [5] приведен следующий пример: выбор автомобиля. При примерно одинаковой цене ЛПР пред­почитает большую по размеру машину. Однако его предпочте­ние меняется на обратное , когда он узнает, что у машины не гидравлическая, а механическая коробка передач, что услож­няет управление.

2. Независимость по полезности. Критерий C₁ называется независимым по полезности от критериев С₂,..., С_n, если поря­док предпочтений лотерей, в которых меняются лишь уровни критерия C₁, не зависит от фиксированных значений по другим критериям.

3. Независимости по предпочтению являются одним из наи­более важных и часто используемых условий. Два критерия С₁ и С₂ независимы по предпочтению от других критериев Сз,...,Сn, если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по С₁,С₂, не зависят от фиксированных значе­ний по другим критериям.

Приведем пример нарушения условия независимости по предпочтению — выбор дачи для летнего отдыха (табл.). Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «Расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Первые два условия независимости относились к независи­мости одного критерия от остальных, третье условие — к неза­висимости пары критериев от прочих.

Таблица Задача выбора дачи для летнего отдыха

Альтернатива	Критерии
	Качество дачи (комфортность)	Наличие магазина недалеко от дачи	Расстояние от города
А	Хорошее	Нет магазина
В	Среднее	Есть магазин

Судя по литературе, отсутствуют примеры зависимости трех и большего числа критериев от остальных, которая не проявля­лась бы в нарушении условия независимости по предпочтению. По мнению известных ученых Г. Фишера и Д. Винтерфельда [6], появление такой зависимости «неопределенно по своей при­роде и трудно обнаружимо». В связи с этим понятно особое внимание, уделяемое проверке условия независимости по пред­почтению.

Следствия из аксиом.

Если аксиомы первой группы и некоторые из условий незави­симости выполнены, то из этого следует строгий вывод о сущест­вовании многокритериальной функции полезности в определенном виде.

В качестве примера приведем широко известную теоре­му Р. Кини. Если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция по­лезности является аддитивной

U(x) = ∑w_iU_i(x) при ∑w_i =l

либо мультипликативной

l + kU(x) = Π[l + kw_iU_i(x)] при ∑w_i =l,

где U₁, U_i— функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; w_i — коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0< w_i <1; коэффициент к>—1. Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значе­ния коэффициентов w_i, k , а также однокритериальные функ­ции полезности U_i(x).

Полученный теоретический результат является основой ме­тода, неоднократно использованного для решения практических задач. Обсудим приведенные выше этапы применения этого ме­тода, используя в качестве примера задачу выбора площадки для строительства аэропорта.

Пример

Рассмотрим перечень критериев для оценки вариан­тов постройки аэропорта. Предположим, что после рассмотрения вариантов разброс оценок по критериям может быть представлен табл.

Зная диапазон изменения оценок по каждому из критериев, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каж­дой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции положим равным единицы, а минимальное - нулю.

Разброс оценок вариантов постройки аэропорта

Критерий	Наихудшее значение	Наилучшее значение
(C1) Стоимость постройки аэропорта (С2) Время поездки от центра города (Сз) Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям	$ 200 млн 90 мин 50 тыс	$ 100 млн 40 мин 5 тыс.

На рис. приведен пример построения функции полезно­сти ЛПР для критерия «Стоимость постройки аэропорта».

Первоначально известны две точки функции полезности: U($100 млн)=1, U($200 млн)=0. Для нахождения промежуточ­ных точек используются типовые лотереи (см. лекцию 2). В ло­терее 1 на рис. 22 (слева) перед ЛПР ставится следующая задача: «Определите эквивалент определенности для лотереи, имеющей с равными вероятностями (р=0,5) минимальную и максимальную стоимости постройки». ЛПР предъявляют ряд значений (на­пример, $120 млн, $130 млн и т. д.) и спрашивают: выше или ниже данного значения находится, по его мнению, эквивалент определенности. Предположим, что ЛПР остановился на значе­нии $160 млн. Тогда делается вывод, что U=0,5 соответствует $160 млн. Аналогично определяются другие значения функции полезности. Так, правая лотерея на рис. 22 позволяет опреде­лить точку U($130 млн)=0,85. Идентичным образом строятся функции полезности для каждого из критериев.