Разностное уравнение и дискретная цепь

Непрерывный сигнал на входе линейной системы x(t) и соответствующий сигнал y(t) на выходе связаны дифференциальным уравнением. Замена непрерывной переменной t на дискретную переменную nT приводит к замене дифференциального уравнения разностным уравнением. Каноническая форма разностного уравнения общего вида, учитывающая в явном виде наличие в системе как прямых, так и обратных связей, запишется так

y(nT) = Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru am x(nT - mT) + Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru y(nT - Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru ), (2.1)

где (M + 1) - число прямых связей,

Z - число обратных связей,

m, Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , n - целые положительные числа.

Аналитические методы решения разностных уравнений во многом повторяют методы решения дифференциальных уравнений и позволяют получить решение в общем виде, пригодном для анализа работы дискретной системы. Численные методы решения приводят к результату в виде числовой последовательности, поэтому разностное уравнение в этом случае воспринимается как алгоритм функционирования дискретной системы, пригодной для программирования на ЭВМ работы такой системы.

Система работа которой описывается разностными уравнениями, является дискретной так как она способна воздействовать только на отсчеты сигнала. Дискретная система и дискретная цепь осуществляет, согласно (2.1) следующие операции над дискретными сигналами.

Сдвиг (запаздывание) на целое число интервалов T

Умножение на некоторый коэффициент am или b Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru

Z преобразование

Определение z-преобразования. Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье. Особенно эффективно оно используется при анализе дискретных систем и, в частности, при проектировании рекурсивных цифровых фильтров.

Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от -¥ до +¥. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.

Свойства z-преобразования

Рассмотрим некоторые свойства z-преобразования.

Свойство 1. Линейность. Z-образ суммы двух сигналов равен сумме z-образов этих сигналов. Действительно, пусть есть два дискретных сигнала Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru и Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru . Найдем z-преобразование их суммы Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru :



Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru (11)

Свойство 2. Свойство задержки. Пусть дан исходный дискретный сигнал Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru . Найдем z-преобразование сигнала Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , задержанного на Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru отсчетов:

Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru (12)

При выводе была введена переменная Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , тогда Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru и получили, что задержка исходного сигнала на Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru добавляет множитель Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru к z-преобразованию сигнала. Тогда задержка на один отсчет соответствует Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru .

Свойство 3. Теорема о свертке. Пусть дано два сигнала Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru и Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru , Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru . Найдем z-преобразование их круговой свертки.

Разностное уравнение и дискретная цепь - student2.ru (13)

При выводе было использовано свойство задержки z-преобразования. Таким образом z-преобразование свертки сигналов равно произведению их z-образов.

Наши рекомендации