Использование операций над матрицами.

Пример 1. Рассмотрим пример умножения матрицы на вектор. Анализируя продолжительность подписки на различные газеты, исследователи охарактеризовали вероятности перехода подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки с помощью соответствующей матрицы. Упрощенный вариант этой матрицы имеет вид:

.

В этой матрице для вероятностей перехода данные структурированы в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулированные подписки.

Предположим, что известно распределение 1000 подписчиков по этим категориям: 500 – принадлежат к 1-й категории, 200 – ко 2-й категории, 300 – к 3-й категории. Тогда вся группа, состоящая из 1000 подписчиков, может быть описана вектором-строкой:

Для того, чтобы определить вероятностное количество подписчиков в каждой из категорий через год, умножим на матрицу вероятностей перехода P:

.

Вектор, полученный после умножения, показывает, что из первоначальной тысячи подписчиков через год 350, вероятно, будут принадлежать к категории 2, 430- к категории 3 и 220 к категории 4.

Пример 2. Некоторое производственное объединение должно выпустить три вида продукции А1, А2, А3 в количествах, выраженных в процентах к плану, соответственно: 20%, 30% и 50%.

В объединении участвуют четыре предприятия, причем по плану предприятие №1 должно выпустить 30% всей продукции А1, 40% всей продукции А2 и 10% всей продукции А3. План для остальных предприятий соответственно следующий:

для предприятия №2 - 40% А1, 10% А2, 30% А3;

для предприятия №3 - 30% А1, 20% А2, 30% А3;

для предприятия №4 - 0% А1, 30% А2, 30% А3.

Требуется найти процент выполнения плана объединения каждым предприятием.

Решение:

Для решения задачи применим операции над матрицами. Обозначим через Хj (j=1,2,3,4) количество продукции выпускаемой по плану j-ым предприятием, тогда получим следующее матричное уравнение:

Выполнив операцию умножения матриц в правой части, будем иметь следующие значения : .

Матричная алгебра находит большое применение при балансовых расчетах.

Пусть в народном хозяйстве имеется n отраслей. Проанализируем взаимоотношения между ними. Они выражаются в виде поставок друг другу соответствующей продукции (в денежном выражении) в течение некоторого периода, например, одного года.

Для i-й отрасли часть продукции идет на потребление первой отраслью, – второй и т.д. Вообще – материальные затраты i-ой отрасли, потребляемые j-той отраслью ; - внутреннее потребление i-ой отрасли (очень часто ).

Пусть – стоимость товаров i-ой отрасли, идущих на непроизводственное потребление (личное и общественное), накопление и экспорт - “конечный спрос”.

Стоимость всего производства (валовая продукция) i-ой отрасли равна сумме соответствующих затрат:

Межотраслевые взаимоотношения записываются в виде системы уравнений:

, где i=1,2,...,n. (1)

Коэффициент показывает количество продукции i-ой отрасли, используемой для производства единицы продукции j-той отрасли и считается постоянным в течении планируемого периода.

Подставляя в уравнение (1) получим:

, где i=1,2,...,n.

Последнюю систему можно записать в матричной форме:

X = AX + Y (2)

где - матрица прямых затрат.

Уравнение (2) межотраслевых связей можно записать в другом виде:

(3)

Определим, сколько продукции должна выпускать каждая отрасль, если известен ”конечный спрос” отраслей. Решим матричное уравнение (3) относительно x. Для этого умножим его на обратную матрицу слева:

,

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Элемент показывает количество валовой продукции i-той отрасли, затрачиваемое на единицу конечной продукции j-ой отрасли. Матрица S – A называется матрицей косвенных затрат.

Пример 3. Рассмотрим систему двух отраслей экономики: промышленности и сельского хозяйства. Пусть матрица прямых затрат имеет вид:

,

и задан “конечный спрос” каждой отрасли соответственно 330 тыс. руб. и 66 тыс. руб. Каков должен быть валовой выпуск каждой отрасли?

Решение:

Составим матрицу E – A:

Найдем обратную матрицу для с помощью присоединенной матрицы:

Определитель ,

Матрица полных затрат будет следующей:

Валовой выпуск каждой отрасли составляет:

Таким образом выпуск промышленности составляет 900 тыс. руб., а сельского хозяйства – 420 тыс. руб.

Матрица косвенных затрат имеет вид:

Модель планирования производства.

Имеется определенное количество изделий (деталей, полуфабрикатов, узлов), которые необходимы для производства других изделий, в том числе конечной продукции. Между отдельными изделиями должны соблюдаться технологические соотношения. Например:

Детали

Узлы

Изделия

Рис. 1.

Стрелки и числа на них показывают, сколько единиц i-го изделия необходимо для изготовления единицы j-го изделия. В общем виде эта информация может быть представлена в виде матрицы затрат:

Если, кроме того, требуется определенное количество деталей и узлов в качестве запасных частей, то для построения математической модели целесообразно также ввести

- общий выпуск,

- конечный выпуск.

Тогда

Если задан конечный выпуск, а требуется найти общий выпуск, то задача состоит в том, чтобы разрешить эту систему относительно Х:

(1)

Модель планирования материальных затрат.

1. Расчет общих затрат материалов

Для того чтобы заготовить нужное количество сырья и материалов, необходимо прежде всего рассчитать общие материальные затраты на предприятии.

Обозначим через – затраты материалов k-го вида на производство одного изделия j-го вида , а через - общие затраты материалов k-го вида.

Если объединить все в вектор , а все в матрицу , то имеет место равенство

,

где B – матрица материальных затрат, - вектор суммарных материальных затрат.

Подставив Х из (1) получим формулу для вектора суммарных материальных затрат

(2)

2. Расчет суммарной стоимости затраченных материалов.

Если заданы цены всех материалов , то суммарная стоимость всех затраченных материалов вычисляется по формуле:

, (3)

где .

3. Расчет стоимости затрат по каждому виду материалов.

Если требуется определить стоимость затрат по каждому виду материалов, то целесообразно использовать не вектор, а диагональную матрицу цен, т.е.

.

Вектор стоимости затрат по каждому виду материалов получается следующим образом:

(4)

Пример: Рассчитать материальные затраты для схемы, изображенной на рис.1., если заданы:

- конечный выпуск,

- матрица материальных затрат,

- вектор цен.

Решение:

- общий выпуск,

- общая потребность в материалах,

- общая стоимость материальных ресурсов,

- затраты по каждому виду материалов.

Упражнения.

Решить с помощью действий над матрицами следующие задачи.

1. Швейная фирма производит три вида одежды: плащи, пальто и костюмы на пяти фабриках. За планируемый период фирма должна выпустить плащей на сумму 100 тыс. руб. пальто на 40 тыс. руб. и костюмов на 60 тыс. руб. Технологический процесс на фабрике №1 характеризуется тем, что она за планируемый период может выдать 10% плащей, 20% пальто и 60% костюмов от плана фирмы.

Другие фабрики соответственно своим технологическим процессам имеют следующие возможности

фабрика №2 – 10% плащей; 10% пальто; 10% костюмов;

фабрика №3 – 20% плащей; 30% пальто; 20% костюмов;

фабрика №4 – 30% плащей; 40% пальто; 0% костюмов;

фабрика №5 – 30% плащей; 0% пальто; 10% костюмов.

На сколько тысяч рублей продукции должна выполнить план фирмы каждая фабрика?

К решению.

Распределение   Произв.	ФАБРИКИ	Непроизводств. потребление в тыс. руб.
Плащи	0,1	0,1	0,2	0,3	0,3
Пальто	0,2	0,1	0,3	0,4
Костюмы	0,6	0,1	0,2		0,1

2. Секция магазина продает продукцию трех видов: A, B и C и двух сортов: первого и второго. В течение определенного месяца проданная продукция состояла из 30% A, 40% B, 30% C, причем 80% продукции A, 70% B и 50% C было первого сорта. Сколько процентов продукции каждого сорта было продано.

3. Дана матрица прямых затрат A. Найти матрицу полных затрат S и матрицу косвенных затрат S-A для:

а) б)

в) г)

4. На предприятии имеется три цеха. Сколько продукции должен выпускать каждый цех, если дана матрица прямых затрат A и задана программа выпуска каждого цеха :

а)

б)

5. Пусть народное хозяйство состоит из трех отраслей. Коэффициенты прямых затрат, непроизводственное потребление и накопление дано в таблице:

Распре-деление   Произ- водство	ОТРАСЛИ	Непроизводствен-ное потребление и накопление /в тыс. руб./	Ответ Х
1 отрасль	0,3	0,3
2 отрасль	0,2	0,2	0,3
3 отрасль	0,1	0,1	0,2

Исходя из данных таблицы определить матрицу полных затрат, матрицу косвенных затрат и валовый выпуск продукции каждой отрасли.