Линейные дифференциальныеуравненияс постояннымикоэффициентами
Это уравнения,имеющиевид
y(n)+ ay(n-1)+ ay(n-2)+...+ any=
f(x),
| 1 2 |
a1,a2,...,an
–постоянныекоэффициенты.
Однороднымлинейным уравнением n-го порядка называются
уравнениявида
y(n)+ ay(n-1)+ ay(n-2)+...+ any= 0.
| 1 2 |
однородногоуравнениябудемввиде
y(x)= ekx.Подставив
y(x)
вуказанном
видеводнородноеуравнение,получим
(kn+ akn-1+ akn-2+...+ an)ekx= 0.
| 1 2 |
+ a2k
n-2
+...+ an= 0,
называемое характеристическимуравнением.
Всоответствиисосновнойтеоремойалгебрыхарактеристическоеуравнениеимеетровноnкорней,считаявсевещественныеикомплексныекорни с учетомихкратности.
Легко заметить,что если
y1(x)иy2(x)– два линейно-независимых
частныхрешенияоднородногоуравнения,то
y(x)= C1y1(x)+C2
y2(x)
также
удовлетворяеттомужеоднородномууравнению прилюбыхC1иC2.
Рассмотрим все случаи корней характеристического уравнения и
определимвидчастногорешениятак,чтобывсечастныерешениябылилинейно-независимыми.Получивnлинейно-независимыхчастныхрешений,мы сможемпостроитьобщеерешениеоднородногоуравнения
y(x)= C1y1(x)+...+Cn
yn(x), содержащее n произвольныхпостоянныхи
позволяющее решать любую задачу Коши с начальными данными
(n-1)
y(x0)= y0,
y¢(x0)= y1,...,y
(x0)= yn-1. Действительно, такая задача
сведетсяк поискуконкретныхзначенийпостоянныхлинейныхуравнений
C1,...Cn
из системы
ì C1y1(x0)+...+ Cn
ï
yn(x0)= y0,
í ...............
ï
ïCy(n-1)(x)+...+ Cn
yn(n-1)(x)= y .
î 1 1
0 0 n-1
с ненулевымглавнымопределителемсистемы
y1(x0) .....
yn(x0)
............... .
y(n-1)(x)...y
(n-1)(x)
1 0 n 0
а)Простойвещественныйкорень.Простомувещественномукорнюk1
kx
характеристическогоуравнениясоответствует частноерешение
y1(x)= e1 .
Пример. Решить однородное дифференциальное уравнение
y¢ -5y¢ + 6y¢ = 0.Построимхарактеристическоеуравнение
k3-5k2+ 6k= 0.
Это характеристическое уравнение имеет три простых корня:
k= 0,k= 2,k= 3.Поэтомуобщим решениеисходногодифференциального
уравнениеявляетсяфункция
y(x)= C
+ Ce2x+ Ce3x.
1 2 3
б) Вещественный корень кратностиm.Если корень k0
характеристическогоуравненияимееткратностьm,то,естественно,мыне
можемиспользовать m одинаковыхчастныхрешенийвида
y(x)= ek0x,
соответствующихэтомукорню,таккакэтирешениябудутлинейнозависимыми.Вуказанномвидемысможемвзятьтолькоодноизmчастныхрешений.Можнопоказать,чтовсеmчастныхрешений,соответствующихданномукорнюхарактеристическогоуравнения,имеютвид
| j |
j=1,..,m,тоестьфункции
xj-1ek0x,
j=1,..,m,удовлетворяют
исходномуоднородномудифференциальномууравнению. Заметимпрежде
всего, что если
k0– корень уравнения
kn+ akn-1+ akn-2+...+ an= 0
| 1 2 |
k0 – корень любого из уравнений
+ a2k
n-2
+...+ an)
(j)
= 0,
j=1,...,m-1.
Покажем,какпроводитсядоказательствотого,что
xek0x(случай
j= 2)
удовлетворяетисходномуоднородномууравнению.Подставим
xek0x в
левую часть исходного однородного дифференциального уравнения и
получим
xek0xkn+ nek0xkn-1 + a[xek0xkn-1+ (n-1)ek0xkn-2]+...+ a
[xek0xk
+ ek0x]+
0 0 1 0 0
n-1 0
+axek0x= xek0x[kn+ akn-1+...+ a
]+ ek0x[nkn-1+ (n-1)kn-2+...+ a
]= 0.
n 0 1 0 n
0 0 n-1
Первоевыражениевквадратныхскобкахобращаетсявноль,таккак
k0–
кореньхарактеристическогоуравнения,второевыражениев квадратных
скобках обращается в ноль, так как
k0– корень уравнения
+ a2k
n-2
+...+ an)¢= 0.Подобнымжеобразомможнопоказать,что
функции
xj-1ek0x,
j= 3,..,m, удовлетворяют исходному однородному
дифференциальномууравнению.
Пример. Решить однородное дифференциальное уравнениеy(6)- 2y(5)+ y(4)= 0. Характеристическое уравнение имеет видk6- 2k5+ k4= 0,и следовательно,имеет корни0 (кратностичетыре)и 1(кратностидва).Поэтомуобщимрешениемисходногодифференциального
уравненияявляетсяфункция
y(x)= C
+ Cx+ Cx2+ Cx3+ ex(C5+Cx).
1 2 3 4 6
в) Простой комплексный корень.При решении алгебраическогоуравнениясвещественнымикоэффициентаминаличиекомплексногокорня
a + ib
обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня
a -ib .
Поэтомуможнобылобыв качествечастныхрешений,соответствующих
этойпарекорней,взятьфункции
e(a +ib )x
иe(a-ib)x.Однакодлятого,чтобы
не привлекать комплексные числа для решения дифференциальных
уравненийс вещественнымикоэффициентами,наосновании формулы
Эйлера
eibx= cosb x+ isinb x,вкачестве частныхрешенийберутфункции
eaxcosb xи
eaxsinb x.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
y(4)+ 4y¢¢ = 0.
Характеристическимуравнениемявляетсяуравнение
k4+ 4k2 = 0.Корнями
этогоуравненияявляются
k= 0
(кратности2)икомплексныекорни
±i2.
Поэтомуобщеерешениеимеетвид
y(x)= C1+C2x+C3cos2x+C4sin2x.
г) Комплексные корни кратностиm.В случае, когдахарактеристическоеуравнениеимеет два комплексносопряженныхкорня
a ± ib
кратности m,соответствующие этим корнямчастныерешения
соответствующегооднородногодифференциальногоуравненияимеютвид
xj-1eaxcosb x,
j=1,..,m,и
xj-1eaxsinb x,
j=1,..,m.
Пример. Решить дифференциальноеуравнение
y(4) + 4y¢ +14y¢ + 20y¢ + 25y= 0.
Характеристическое уравнение можно представить в виде
(k2+ 2k+ 5)2= 0, следовательно,корнямихарактеристическогоуравнения
являются
-1+ 2i
(кратности2) и
-1- 2i
(кратности2). Поэтомуобщим
решение заданного однородного дифференциального уравнения будет
-x
функция
y(x)= e
(C1cos2x+C2xcos2x+C3sin2x+C4xsin2x).
Решениенеоднородногоуравнения.Мыужезнаем,какнайтиобщеерешениеоднородногоуравнения.Чтобынайтиобщеерешениенеоднородногоуравнения,нужнонайтичастноерешениенеоднородногоуравненияи прибавитьк нему уженайденноеобщеерешение
соответствующегооднородногоуравнения.Действительно,пусть
y0(x)–
общеерешениеоднородногоуравнения
y(n)+ ay(n-1)+ ay(n-2)+...+ any= 0,
| 1 2 |
C1,...Cn.Если
y(x)
удовлетворяет
неоднородному уравнению
y(n)+ ay(n-1)+ ay(n-2)+...+ any=
f(x), то
| 1 2 |
y(x)+ y0(x)
удовлетворяеттомуженеоднородномууравнениюи
содержитпроизвольные постоянныеC1,...,Cn.
Таким образом, вопрос о нахождении общего решениянеоднородного уравнения сводится к вопросу о нахождении частного
решениянеоднородногоуравнения.Существуютразныеметодыпостроениятакогорешения.Рассмотримметодвариациипроизвольнойпостоянной,
которыйпозволяетсразуполучить общеерешениенеоднородногоуравнения.
Сутьэтогометодавтом,что,получиврешениесоответствующего
однородногоуравненияввиде
y0(x)= C1y1(x)+...+Cnyn(x),мыищемобщее
решениенеоднородногоуравненияввидеиподбираемтакиенеизвестныефункции
y(x)= C1(x)y1(x)+...+Cn(x)yn(x)
C1(x),...,Cn(x), чтобы функция
y(x)
удовлетворяланеоднородномууравнению.Оказывается,чтодляэтого
достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функцийудовлетворялисистеме
| ¢ ¢ |
| ï |
| = 0, |
| ¢ ¢ ¢ ¢ |
| í |
ï ........................................................
ïC¢(x)y(n-1)(x)+...+ C¢(x)y
(n-1)(x)=
f(x).
ïî 1 1 n n
Докажемэтодляслучая
n= 2. Пустьнеобходиморешитьуравнение
y¢ + ay¢ +by=
f(x). Решение однородного уравнения имеет вид
y0(x)= C1y1(x)+C2y2(x),причем
yj¢ + ayj¢ + byj= 0,
j=1,2.Возьмемобщее
решениенеоднородногоуравненияввиде
y(x)= C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x) и
подставим внеоднородноеуравнение. Мы получим:
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
C1y1+ 2C1y1
¢ ¢
+ C1y1
+ C2
y2+ 2C2y2
+ C2y2
+ a(C1y1
+ C1y1+
+C2y2
+ C2y2)+ b(C1y1+ C2y2)=
f(x).
Выражения,имеющиесомножителямипоэтомуимеем:
C1и C2
обращаютсяв ноль,
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
C1y1+ 2C1y1+C2
¢ ¢
y2+ 2C2y2
+ a(C1y1+C2y2)= f(x).
Пусть
C1y1+ C2y2= 0. Взяв производные от обеих частей этого
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
равенства,получимC1
y1+ C1y1+ C2
y2+ C2y2
= 0.Поэтомудлятого,чтобы
функция
y(x)быларешениемнеоднородногоуравнения,остаетсяположить
| 1 1 2 2 |
f(x).
ex
Пример. Решить дифференциальное уравнение
y¢ - 2y¢ + y= x.
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного
уравнения имеет вид
k2- 2k+1= 0. Следовательно, общее решение
x x
однородногоуравнения– функция
y0(x)= C1e
+C2xe
. Поэтомуобщее
x x
решениенеоднородногоуравнениеищемввиде
y(x)= C1(x)e
+C2(x)xe.
Для определения неизвестных функцийотносительноихпроизводных
C1(x),C2(x)
составим систему
| ï |
+ C¢xex
= 0,
¢ x x ex
î
+ C2(xe
+ e)= x.
Сокращая уравнения на
ex, мы получим систему с главным
определителем,равным1. Решаясистемуи интегрируя,получим
y(x)= e
C1(x)= -x+ C1,
C2(x)= ln|x|+C2.
|
выражение
-x+ C2x
можнозаменитьвыражением
x
C2x.
Поэтомурешение можнозаписать в виде
y(x)= e
(C1+ xln|x|+C2x).