Общие понятия математического моделирования.

Специфичность объекта управления в рассматриваемой нами области организационного управления заключается в том, что практически невозможно экспериментирование на самом объекте, так как это связано с большим риском и потерями. Невозможно проведение серии экспериментов для «отработки» лучшего решения, ибо организацию и, тем более, экономическую среду невозможно возвращать в исходное состояние, – экономические процессы необратимы. Применительно к задачам организационного управления моделирование используется как средство «сжатия времени».

Суть метода моделирования состоит в опосредованном оперировании объектом, при котором исследуется непосредственно не сам объект, а вспомогательная искусственная система, находящаяся в объективном соответствии с объектом, дающая в конечном счете необходимую информацию о самом объекте. Наиболее мощным и универсальным средством моделирования в рассматриваемой нами области организационного управления являются логико-математические модели (далее просто математические модели). Построение математической модели позволяет привести сложные взаимосвязи между факторами, имеющими отношение к проблеме принятия решения, в логически стройную схему, доступную для детального анализа.

Существует известное изречение, что правильно поставить задачу – значит наполовину решить ее. Следует признать, что правильная постановка задачи является сама по себе сложной задачей. Однако методология процесса постановки задач (как первого этапа операционного исследования) выходит за рамки проблематики нашего курса, посвященного математическим аспектам решения задач организационного управления. Для этого очень важно суть задачи словесно описать таким образом, чтобы были возможны дальнейшая формализация и разработка математической модели, то есть описание задачи на математическом

языке.

Формальная структура постановки задач базируется на определенной совокупности элементов. Соотнесение всех условий задачи этим элементам позволяет «обнажить» суть задачи и, в конечном итоге, получить ее четкую, однозначно понимаемую формулировку.

Принято выделять следующие элементы общей структуры задач принятия решений:

а) цели, ради достижения которых принимается решение;

б) множество управляемых(разрешающих) переменных, значения которых могут определяться лицом, принимающим решение (ЛПР);

в) множество внешних(экзогенных) переменных, значения которых не контролируются ЛПР и имеют вероятностный или неопределенный характер;

г) множество параметров, которые также не контролируются, но считаются в условиях данной задачи вполне определенными;

д) ограничения– предельные значения тех параметров и неконтролируемых переменных, которые не могут быть превзойдены или не достигнуты при реализации решения;

е) решение(или стратегия) – некоторая допустимая совокупность значений управляемых переменных;

ж) критерий эффективности(показатель качества) решения, на основе которого производится оценка и сравнение вариантов решений и выбор лучшего.

Предполагается, что приведенные выше элементы должны быть измеримыми, то есть иметь характер «количества» или, по меньшей мере,

«величины».

Тогда дальнейший процесс разработки математической модели задачи будет сводиться к изучению взаимосвязей между целями, переменными и параметрами и отражению этих взаимосвязей в виде математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.).

Среди этих выражений можно выделить две группы:

К первой отнесем условия достижения целей (или целевые объекты), т.е. выражения, отображающие зависимости между управляемыми переменными и поставленными целями.

Ко второй группе относятся выражения, отображающие условия- ограничения, описывающие связи между управляемыми переменными и теми из параметров и «внешних» переменных, которые или не могут быть

превзойдены, или не достигнуты при реализации решения. (В отечественной литературе математические выражения, как правило, на упомянутые группы не подразделяются и обозначаются единым термином

– «ограничения»).

Совокупность значений управляемых переменных, удовлетворяющих системе указанных выше выражений (условиям достижения целей и ограничениям), принято называть допустимым решением (стратегией, планом).

Множество допустимых решений называется областью допустимых решений.

Поскольку проблема принятия решения заключается не только в нахождении допустимого решения, но и в выборе наилучшего из них по принятому критерию, – возникает необходимость определения значения критерия в зависимости от значений контролируемых переменных.

Функция, определяющая эту зависимость, называется целевой функцией.

Таким образом, совокупность (система) математических выражений, отражающих условия достижения целей и условия выполнения ограничений, вместе с целевой функцией и представляют собой математическую модельзадачи.

Допустимое решение, при котором значение целевой функции достигает экстремума (минимального или максимального значения в зависимости от условий задачи), называется оптимальным решением.

Приведенные понятия (элементы структуры задач принятия решений) являются наиболее общими. При рассмотрении отдельных типов задач, понятийный аппарат расширяется. Так, например, при изучении задач массового обслуживания вводятся такие понятия, как дисциплина очереди, канал обслуживания, интенсивность обслуживания и др.; в задачах упорядочения и координации (управление проектами) – такие

понятия, как критические работы, резервы времени и т.п.; в состязательных задачах (теория игр) – понятия ход, платежная матрица, чистые и смешанные стратегии и т.д…

При постановке задачи и ее моделировании необходимо прежде всего оценить, какой из формулировок принципа экономичности соответствует данная ситуация принятия решения.

Принцип экономичности может формулироваться двояко:

- заданных целей (результатов) достигнуть при минимальных затратах;

- при заданных пределах затрат достигнуть цели в максимальной степени (достичь максимума результата).

Принцип экономичности в первой формулировке иногда называют

«принципом экономии средств», во второй – «принципом максимального эффекта». Если задача формулируется по «принципу максимального эффекта», то целевая функция являет собой условие достижения цели (цель – максимум результата), остальные математические выражения, входящие в модель, – суть условия-ограничения.

Часто принцип экономичности формулируют так:

«достигнуть максимальной степени реализации цели (максимального результата) при минимальных затратах». Такое определение неверно, внутренне противоречиво с содержательной точки зрения и ведет к постановке математически неразрешимой задачи.

Кроме того, у руководителей возникает искушение оптимизировать решение задачи по нескольким критериям. Например, следующим образом: «найти такое решение, которое обеспечило бы максимум размера торгового оборота при минимуме годовых издержек производства и минимуме капитальных вложений».

При всей внешней привлекательности и кажущейся естественности –

такая постановка ведет к неразрешимой задаче. Желательно, как правило,

стремиться так формулировать задачи, чтобы при множественности целей и ограничений, критерий оптимизации решения (а, стало быть, и целевая функция) был один. Следует отметить, что в ряде сложных организационных задач возникает проблема многокритериальности. Некоторые подходы к постановке и решению такого рода задач будут рассмотрены в Теме 4.

Изложенное выше еще раз подтверждает важность правильного обоснования цели и критерия эффективности при постановке задачи, так как при этом определяется и выбор соответствующего варианта формулировки принципа экономичности.

Важным достижением теории и практики применения математического моделирования в решении организационных задач является выработка типологии задач.

Индивидуальные различия задач относятся к их содержанию, а сходство определяется их формой. Любая задача обладает как содержанием, так и формой. Под формой понимается структура задачи, то есть состав ее переменных и постоянных и их взаимосвязь. Содержание же определяется природой этих величин. Мы отделяем форму задачи от ее содержания с помощью процесса абстракции. Язык, на котором описывается форма задачи (условия задачи, абстрагированные от их содержания), является языком математики. При необозримом числе конкретных ситуаций принятия решений большинство задач может быть отнесено к определенным типам с точки зрения их формы и, тем самым, к определенным типам математических средств их описания и решения. Это и позволило осуществить классификацию задач организационного управления, приняв в качестве классификационного признака не содержательные особенности задач, а формальные, иными словами, общность задач, в конечном счете, определить типами математических моделей, в наибольшей мере соответствующими формам этих задач, то

есть наилучшим образом описывающими условия этих задач и обладающими алгоритмическими средствами их решения (уместно отметить, что подобная классификация в свою очередь дала мощный импульс развитию исследований в соответствующих областях прикладной математики).

Различают задачи следующих основных классов:

1) распределения,

2) управления запасами,

3) замены,

4) массового обслуживания,

5) упорядочения и координации (управления проектами),

6) выбора маршрута,

7) состязательные,

8) поиска,

9) комбинированные.

Этим классам соответствуют определенные типы математических моделей, а иногда и соответствующие направления прикладной математики, такие как математическое программирование, теория управления запасами, теория массового обслуживания, сетевое моделирование, теория игр и т.п. (см. раздел 4 «Математики»). В каждом классе могут быть выделены подклассы, в которых в свою очередь можно выделить виды и подвиды.

Всякая классификация является упорядочением, а потому весьма информативна. Вспомним известную классификацию животного мира из биологии. Теперь представим, что некий биолог рассматривает некое ранее ему не известное существо и обнаруживает, что оно может быть отнесено к классу млекопитающих. Какой огромный объем информации об этом животном дает ему этот факт! Точно так же, управляющий, сталкивающийся с ситуацией принятия решения, знакомясь с проблемой и

пытаясь сформулировать задачу, обнаруживает, что по форме эта задача может быть отнесена, например, к задаче линейного программирования.

Теперь он способен дать четкую постановку задачи, теперь он знает, какая информация и в каком виде потребуется для решения этой задачи, какую информацию он может получить в результате решения (например, кроме оптимальных объемов производства определенных видов продукции, еще и объективно обусловленные оценки ресурсов, границы устойчивости оптимального решения и т.п.).

Теоретические концепции разработки управленческих решений с применением методов математического моделирования и значительный продуктивный опыт их применения на практике позволили создать понятийный и терминологический аппарат для четкого описания постановок задач не только на модельном, но и на вербальном уровне. Такие понятия как цели, контролируемые и неконтролируемые переменные, параметры, ограничения, критерий эффективности, целевая функция, область допустимых решений, оптимальное решение и т.п., – стали неотъемлемой частью профессионального языка менеджеров, в существенной мере влияя на их способ мышления.

Таким образом, включение математического моделирования в профессиональный арсенал методов и средств управляющего позволяет не только повысить эффективность принимаемых им решений благодаря непосредственному использованию математических моделей и методов для решения конкретных управленческих задач, но и оснащает его понятийными и терминологическими средствами и принципами формулирования этих задач, тем самым способствуя выработке профессионального образа и языка мышления.