Методы математического анализа. Математические модели, общие понятия

Математическое моделирование - исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов

Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ

Классификация мат.моделей

По назначению:

-дескриптивные

-оптимизационные

-имитационные

По характеру уравнений:

-линейные

-нелинейные

По учету изменения системы во времени:

-динамические

-статические

По свойству области определения аргументов:

-непрерывные

-дискретные

По характеру процесса:

-детерминированные

-стохастические

Морфологический анализ и синтез.Структурный (морфологический) анализ - выбираются несколько структурных частей объекта и для каждого элемента находятся альтернативные решения.

· Синтез – анализируются все возможные сочетания признаков, т.к. каждая комбинация представляет собой потенциальное решение.

Этот метод относится к числу эвристических. Метод основан на комбинаторики, суть его состоит в том, что в интересующем или рассматриваемом изделии, или объекте выделяют группу базовых конструктивных или других признаков. Для каждого признака выбирают возможные варианты его исполнения или реализации, комбинируя варианты между собой можно получить множество различных решений, в том числе, представляющих практический интерес, при этом составляют морфологическую таблицу. В эту таблицу заносят признаки и альтернативные варианты их исполнения или реализации.

Из множества получаемых комбинаций вариантов выбирают наиболее подходящие и наилучшие решения. Существует несколько модификаций методов, мы рассмотрим наиболее распространенную модификацию, которая основана на функциональном подходе, в качестве признаков в этой модификации берут функции элементов, узлов деталей, объектов, а в качестве альтернативных вариантов – различные способы реализации каждой функции. Решение задачи начинается с предварительной постановки задачи.

После постановки задачи выбирают критерий качества – наиболее важный количественный показатель или параметр, который используется для оценки вариантов технического решения. За критерий качества обычно принимают какой-либо критерий развития или другой наиболее важный показатель.

ННННННН

На что основывается выбор модели при планировании эксперимента? Выбор модели. Задача состоит в том, чтобы выбрать число и расположение в факторном пространстве экспериментальных точек так, чтобы при минимуме точек получить информацию, необходимую и достаточную для планирования следующего шага.

В вопросе об области важны два обстоятельства: окрестности какой точки она должна представлять и как велика должна быть эта область. Последнее обстоятельство прямо связано с вопросом о модели. В соответствии с принципом последовательного усложнения модели естественно на первом этапе начать с линейной функции. Тогда ясно, что должно быть использовано планирование на двух уровнях (через две точки можно однозначно провести прямую).

ООООООО

Обработка результатов эксперимента Тщательное, скрупулезное выполнение эксперимента, несомненно, является главным условием успеха исследо­вания. Это общее правило, и планирование эксперимента не относится к исключениям.

Однако нам не безразлично, как обработать полученные данные. Мы хотим навлечь из них всю информацию и сде­лать соответствующие выводы. Как всегда, мы находимся между Сциллой и Харибдой. С одной стороны, не извлечь из эксперимента все, что из него следует,– значит прене­бречь нелегким трудом экспериментатора. С другой стороны, сделать утверждения, не следующие из эксперимента, – значит создавать иллюзии, заниматься самообманом.

Статистические методы обработки результатов позво­ляют нам не перейти разумной меры риска.

Общие понятия и термины экспериментальных исследований. Под экспериментальными исследованиями понимается сбор пер­вичной информации путем выбора однотипных групп обследуемых, вы­дачи им разных заданий, контроля за факторами, которые влияют на результаты, и сравнения различий в групповых реакциях.

Термины:

Гипотеза: утверждение, подлежащее проверке.

Переменная: фактор, участвующий в исследовании, который может принимать различные значения.

Независимая переменная: переменная, не зависящая от действий участников эксперимента.

Зависимая переменная: переменная, значения которой в конечном счете зависят от значений независимой переменной.

Экспериментальная группа: группа, в которой присутствует условие, являющееся предметом изучения.

Контрольная группа: группа, в которой отсутствует условие, являющееся предметом изучения.

Измерение: система, в соответствии с которой переменным приписываются численные значения.

Объясните содержание планирования эксперимента исследованием "черного ящика" Далее следует понятие – объект исследования. Для его описания удобно пользоватьсяпредставлением о кибернетической системе, которая схематически изображена на рис.1.1.

Иногда такую схему называют «черным ящиком». Стрелки справа изображают численныехарактеристики целей исследования. Мы их обозначаем буквой игрек (у) и называемпараметрами оптимизации. В литературе встречаются другие названия: критерийоптимизации, целевая функция, выход «черного ящика» и т.д.

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на

наведение «черного ящика». Все способы такого воздействия мы обозначаем буквой икс (х)и называем факторами. Их называют также входами «черного ящика».

При решении задачи будем использовать математические модели исследования. Под

математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации сфакторами. Это уравнение в общем виде можно записать так: у = ф(х₁, х₂, ... ,х_к) ф- функция отклика

Основные понятия методов прогнозирования

Гипотеза - это научно обоснованное предположение либо о непосредственно ненаблюдаемом факте, либо о закономерном порядке, объясняющем известную совокупность явлений.

Предсказание - это предвидение таких событий, количественная характеристика которых невозможна или затруднена.

Прогноз - это количественное, вероятностное утверждение в будущем о состоянии объекта или явления с относительно высокой степенью достоверности, на основе анализа тенденций и закономерностей прошлого и настоящего.

В зависимости от целей исследования прогнозы делятся на поисковые и нормативные.

Нормативный прогноз - это прогноз, который предназначен для указания возможных путей и сроков достижения заданного, желаемого конечного состояния прогнозируемого объекта, то есть нормативный прогноз разрабатывается на базе заранее определенных целей и задач.

Поисковый прогноз не ориентируется на заданную цель, а рассматривает возможные направления будущего развития прогнозируемого объекта, то есть выявление того, как будет развиваться объект в будущем полностью зависит от сохранения существующих тенденций.

Основные этапы планирования эксперимента?Планирование эксперимента (experimentaldesigntechniques) – комплекс методов математической статистики, направленных на постановку опытов и проведение рациональных измерений, подверженных случайным ошибкам.

Общая схема проведения эксперимента выглядит следующим образом. Со случайными ошибками измеряется некоторые выходные переменные изучаемой системы, зависящие от неизвестных значений параметров и известных значений переменных-факторов, а также из возможных взаимодействий. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве произведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Основные этапы планирования эксперимента:

1. Установление цели эксперимента – постановка целей и задач проведения эксперимента;

2. Уточнение условий проведения эксперимента – выбор оборудования, сроков работ, способа проведения эксперимента и т.п.;

3. Выбор входных и выходных параметров – выбор зависимой измеряемой переменной, определение случайных и детерминированных независимых переменных;

4. Установление необходимой точности результатов измерений – выбор компромисса между минимальным числом испытаний и статистической достоверностью получаемых результатов;

5. Составление плана и проведение эксперимента – количество и порядок испытаний, задание совокупности значений задаваемых переменных-факторов и их взаимодействий в эксперименте;

6. Статистическая обработка результатов эксперимента – применение методов математической статистики для обработки результатов, построение математической модели эксперимента;

7. Формулирование выводов.

Ошибки и неопределенность эксперимента в целом.Для большинства инженеров представляет интерес схема эксперимента, когда на нескольких приборах измеряется несколько величин и для получения конечного результата эти измерения должны определенным образом комбинироваться с помощью некоторых математических действий. Очевидно, что в таких случаях могут возникать определенные трудности. Измерения, которые в необработанном виде являются довольно точными, в конце последовательности вычислений могут иметь такие ошибки, которые фактически сводят на нет цель эксперимента. И напротив, если исследователю повезет, довольно неточные исходные данные могут играть настолько малую роль в конечном анализе, что на их недостоверный характер можно будет не обращать внимания.Когда исследователь имеет дело с отсчетами, ошибками или неопределенностями нескольких приборов, то возникает проблема рассмотрения различных приборов на общей основе, если его интересуют их ошибки или неопределенности.При изучении ошибок или неопределенностей в случае использования двух или большего числа измерительных приборов необходимо рассматривать их на общей основе.

ППППППП

Планирование эксперимента Планирование эксперимента (experimental designtechniques) – комплекс методов математической статистики, направленных на постановку опытов и проведение рациональных измерений, подверженных случайным ошибкам.

Общая схема проведения эксперимента выглядит следующим образом. Со случайными ошибками измеряется некоторые выходные переменные изучаемой системы, зависящие от неизвестных значений параметров и известных значений переменных-факторов, а также из возможных взаимодействий. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве произведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Планирование эксперимента

Целью планирования эксперимента является создание таких планов покачивания входных переменных, которые обеспечивают более быстрое и точное построение модели объекта.

Проектирование измерительных системРанее измерительные системы рассматривались общем плане. Предполагалось, что при выполнении измерений могут быть случайные или систематические ошибки, либо некоторая комбинация тех и других. Было показано, что получаемые отсчеты можно комбинировать определенным образом, с тем чтобы сделать эксперимент менее продолжительным и более точным, либо обеспечить более удобное представление получаемых результатов.

При выборе схем и приборов для измерений необходимо обратить внимание на общие принципы выполнения измерений. Такие вопросы, как динамическая характеристика прибора, дублирование измерений и регистрация информации, получаемой в эксперименте, являются общими для многих областей науки и техники. Чем меньше границ раздела, тем выше точность измерения.

Важно, чтобы чувствительный элемент вообще не имел токовой нагрузки, так как падение напряжения на соединительных проводах внесет серьезные ошибки в показания прибора. От этого более свободны цифровые приборы.