Применение рядов для приближенных вычислений
Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений и т. п. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда.
Если остаточный член ряда представлен с помощью функции , то необходимо найти
- количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления e, т. е.
.
Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда , то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда.
Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд , то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.
Пример 9.6. Вычислить значение числа е с точностью .
Используем разложение показательной функции в ряд Маклорена
, где
,
.
Область сходимости .
При имеем
.
Число n членов ряда, которые необходимо учесть, чтобы остаток ряда не превосходил заданной точности расчета , найдем из неравенства
.
Будем считать известным, что . Тогда условие для нахождения числа n примет вид
. В ниже следующей таблице приведены оценки остаточного члена ряда
при различных значениях
Число n, учитываемых членов ряда | ||||||
Оценка остаточного члена ряда ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
Как видно из таблицы, при остаточный член ряда
. Следовательно, для того, чтобы вычислить число е с погрешности не превосходящей
, нужно учесть шесть членов в разложении. При вычислениях учитываем на один десятичный знак больше, чем
. В окончательном результате этот последний десятичный знак отбрасываем.
Получаем
.
Окончательно принимаем .
Для сравнения более точное значение .
Пример 9.7. Вычислить значение функции при
с точностью
.
Используем разложение в ряд Маклорена
.
Область сходимости этого ряда .
При имеем
.
Данный ряд и любой его остаток является знакочередующимся. Любой остаток ряда не превзойдет по абсолютной величине первого члена ряда. Это значит, что для вычисления значения с точностью
можно отбросить все члены, начиная с
, который меньше 0,0001.
Вычисляем
.
Округляем с точностью до , получаем
.
Для сравнения, более точное значение .
Пример 9.8. Вычислить значение корня с точностью
.
Используем разложение в ряд Маклорена функции
.
Интервал сходимости этого ряда .
Если представить в виде
, то вычисление с помощью этого ряда приведет к неверному результату, так как значение
находится вне области сходимости ряда.
Если представить искомый корень в виде , так что
, то при разложении в ряд получится знакопостоянный (знакоотрицательный) ряд
.
В этом случае оценка погрешности вычислений приведет к некоторым затруднениям (составление так называемого можарирующего ряда). Лучше избежать этого и представить в виде
. Тогда
и получится знакочередующийся ряд. Оценка погрешности в этом случае достаточно простая, с помощью теоремы Лейбница.
Вычисляем
.
Седьмой член в разложении, равный примерно , меньше
. Его и все последующие члены можно отбросить; при этом погрешность вычисления не превзойдет заданной точности. Округляем результат до 0,0001, получаем
.
Для сравнения более точное значение .
Пример 9.9. Вычислить , где N некоторое положительное число.
Для этого используют разложение функции в ряд Маклорена
.
Интервалом сходимости данного ряда является .
Для того, чтобы вычислить значение при
производят следующее преобразование. Находят разложение в ряд Маклорена для функции
.
Учитывая, что , найдем разность двух рядов
,
.
Получаем
.
Областью сходимости данного ряда также является интервал .
Чтобы вычислить , приравняем
и найдем отсюда х,
Þ
. При любом значении
данное значение х всегда меньше единице и, следовательно, для вычисления значения
можно применять полученное разложение. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 9.10. Вычислить с заданной точностью
.
При находим
.
Записываем
.
Чтобы вычислить с заданной точностью, необходимо оценить остаток ряда, который является знакоположительным рядом.
.
Составим можарирующий ряд, члены которого больше соответствующих членов этого остатка ряда.
Вынесем за скобки первый член остатка ряда
.
Очевидно ,
, поэтому заменим эти дроби единицей (усилим неравенство), имеем
.
Найдем сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим
.
Найдем n, при котором .
Имеем Þ
.
При
.
Таким образом, для достижения требуемой точности нужно принять .
Вычисляем
.
Более точное значение, полученное с помощью калькулятора, .
Пример 9.11. Вычислить интеграл с точностью
.
Данный интеграл относится к числу неберущихся и называется интегральным синусом.
Разложим в ряд и проинтегрируем, получим
.
Здесь для оценки погрешности использовали теорему Лейбница.
Пример 9.12. Найти частное решение дифференциального уравнения при
.
Ищем решение в виде ряда
.
При отсюда имеем
.
Продифференцируем ряд почленно
и подставим и
в дифференциальное уравнение
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства, получим:
Далее, очевидно, можно аналогично получить .
Записываем частное решение дифференциального уравнения
.
Решим данное уравнение аналитическим методом. Запишем уравнение в виде
. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Характеристическое уравнение этого уравнения
имеет один корень
. Общее решение однородного уравнения имеет вид
. Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде
. Подставляем его в уравнение, получаем
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
. Частное решение
. Общее решение исходного уравнения
имеет вид
. Используем начальные условия для нахождения произвольной постоянной С
. Таким образом частное решение имеет тот же вид
, что и при использовании разложения решения в степенной ряд Маклорена.
Вопросы к экзамену
Неопределённый интеграл
56. Теорема о существовании первообразной функции.
57. Определение неопределённого интеграла, его свойства, геометрический смысл. Таблица неопределённых интегралов.
58.Методы нахождения неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной.
59.Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе.
60. Интегрирование неопределённых интегралов по частям.
61. Интегрирование дробно-рациональных функций. Разложение на простые дроби.
62. Интегрирование иррациональных функций.
63. Интегрирование тригонометрических функций.
64. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок. О выражении интегралов через элементарные функции.
Определённый интеграл
65. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
66.Верхняя и нижняяинтегральные суммы, их свойства.
67.Определение определённого интеграла. Взаимосвязь неопределённого и определённого интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла.
68.Методы интегрирования определённых интегралов. Интеграл вида .
69.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теоремы об их сходимости.
70.Несобственные интегралы от разрывных функций. Теоремы об их сходимости.
71. Геометрические приложения определённых интегралов. Вычисление площадей фигур и объёмов тел вращения.
72. Геометрические приложения определённых интегралов. Вычисление длины дуги.
73. Численные методы вычисления определённых интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций.
74.Формула Симпсона для вычисления определённых интегралов.
75. Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства.
76.Вычисление двойных интегралов. Перестановка пределов интегрирования.