Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

Принимая во внимание полученные ранее формулы Маклорена для функций можем записать ряды для этих функций и найти их области сходимости.

1. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

.

Найдем радиус сходимости ряда

.

Область сходимости ряда .

2. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

,

где - остаточный член, записанный в данном случае в форме Пеано. Запись означает, что функция является бесконечно малой по сравнению с функцией .

Найдем радиус сходимости этого ряда

.

Область сходимости ряда .

3. Функция . Ряд Маклорена имеет вид

,

где - остаточный член. Здесь нумерация членов ряда начинается с n = 0.

Радиус сходимости

.

Область сходимости ряда .

Пример 9.5.Разложить в ряд по степеням х функцию .

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем

.

Пример 9.6.Будем считать справедливым разложение функции в ряд Маклорена при мнимом показателе , т. е.

.

Здесь - мнимая единица. Так как и т. д., то

.

Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим

.

Отсюда получаем известную формулу Эйлера

.

4. Получим разложение по степеням х для функции .

Данная функция удовлетворяет уравнению ,

т. е. или

.

Будем искать разложение функции по степеням х в виде

.

Продифференцируем почленно этот ряд

и подставим и в уравнение , получим

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения; при этом учтем, что при ,

т. е. .

При : ;

При : .

При :

.

Далее, приравнивая коэффициенты при , можно получить . Тогда при :

.

Таким образом, получаем разложение функции .

.

Найдем радиус сходимости этого ряда

.

Интервал сходимости ряда .

На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:

и .

5. Для функции можно записать .

При выражение можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии

.

Так как при этот ряд (прогрессия) сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать. Находим

.

Следовательно,

.

Найдем радиус сходимости этого ряда.

.

Интервал сходимости ряда .

6. Для функции справедливо равенство .

При функцию можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии , которая сходится равномерно.

Интегрируя почленно, получим

.

Следовательно,

.

Радиус сходимости ряда

.

Интервал сходимости ряда .

7. Для функции справедливо равенство

.

Запишем разложение биномиального ряда

.

Данный ряд сходится равномерно при .

Интегрируем ряд почленно, получим

Следовательно,

.

Интервал сходимости ряда .