Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение вида
(22)
где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является
то, что искомая функция yи ее первая производная входят в уравнениелинейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.
Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций: положим y= u(x)v(x). Тогда Подставивзначения yи в уравнение (22), получим:
(23)
Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т. е.
, (24)
то для второй функции u(x) из равенства (23) получится уравнение
(25)
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):
(26)
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения
которое удовлетворяет условию (задача Коши).
Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение
в виде Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оноявляется линейным дифференциальным уравнением.
Положим y= u(x)v(x), тогда Подставив yи в уравнение, получим:
(*)
Найдем функцию v, решая уравнение
(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования, положив ).
Из последнего уравнения следует: – общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .
Подставив найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение для функции u: . Найдем функцию – общее решениеэтого уравнения:
.
Общим решением исходного уравнения является функция
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, yчисла соответственно:
Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):
Ответ:
Уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
(27)
где n– действительное число, , называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.
Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.
Однородные уравнения
Функция f(x,y) называется однородной функцией m-го порядка (измерения), если
Дифференциальное уравнение вида
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (28)
называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного порядка.
Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду
(29)
С помощью подстановки , т. е. однородное дифференциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).
Пример 3.Решить дифференциальное уравнение:
Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го порядка, так как выполнено
.
Разрешим данное уравнение относительно . Для этого запишем егов виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): .
Введем подстановку y= tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х).
Разделяем переменные t и х:
Переходим к интегрированию:
Здесь использовано:
Заменяя tна и упрощая результат, получаем:
Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.
Ответ: – общий интеграл уравнения.
Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка
и выбора метода его решения можно использовать табл. 3.
Таблица 3
Тип дифференциального уравнения | Вид, к которому приводится уравнение | Метод решения |
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными | Разделение переменных: | |
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка | Замена: y = u(x)v(x), | |
Уравнение Бернулли | Замена: y = u(x)v(x), | |
Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка | Замена: y = tx, . |