Декартова система координат (ДСК) на плоскости

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Мурманский государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

и программного обеспечения ЭВМ

Аналитическая геометрия на плоскости.
Элементы линейной алгебры.
Аналитическая геометрия в пространстве

Часть 1

Методические рекомендации к выполнению контрольных
работ по дисциплине "Математика"
для студентов I курса вечерне-заочного факультета

Мурманск

УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)

ББК 22.151.5 + 22.143 Я73

М 33

Составители: Л.Г. Мостовская, доцент кафедры высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ Мурманского государственного технического университета;

Е.Е. Великая, ст. преподаватель той же кафедры

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
15 февраля 2006 г., протокол № 4

Рецензент - В.С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Оригинал-макет подготовлен в авторской редакции

Электронная верстка Т.В. Бекреневой

Ó Мурманский государственный

технический университет, 2007

Оглавление

Введение.. 4

Методические указания к изучению тем "Аналитическая геометрия на плоскости" И "Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве". 5

Справочный материал по теме
"Аналитическая геометрия на плоскости". 6

1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости. 6

2. Полярная система координат (ПСК) 7

3. Прямая линия на плоскости. 7

4. Кривые второго порядка. 8

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 1. 11

Справочный материал по темам
"Элементы линейной алгебры.
Аналитическая геометрия в пространстве". 19

1. Матрицы.. 19

2. Линейные операции над матрицами. 20

3. Определители. 21

4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными методом Крамера. 22

5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений
при помощи обратной матрицы.. 23

6. Векторы. Операции над векторами. 24

7. Уравнение плоскости в пространстве. 27

8. Уравнения прямой в пространстве. 27

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 2. 28

Варианты контрольнЫХ работ. 39

Варианты контрольной работы № 1. 39

Варианты контрольной работы № 2. 41

Рекомендуемая литература.. 45

Введение

Основной формой обучения студентов-заочников математике является самостоятельная работа студентов, которая включает изучение теоретического материала, решение типовых задач с проверкой правильности решения, выполнение контрольных работ.

В настоящих рекомендациях содержатся краткие теоретические сведения, рекомендации к выполнению контрольной работы 1 по теме "Аналитическая геометрия на плоскости" и контрольной работы 2 по теме "Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве", список литературы.

В результате изучения указанных тем студенты I курса должны:

• освоить метод координат на плоскости и научиться решать простые геометрические задачи с использованием уравнений прямой и уравнений кривых второго порядка;

• ознакомиться с основами линейной алгебры (действия над матрицами, вычисление определителей), научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы;

• знать основы векторной алгебры (линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения);

• освоить метод координат в пространстве, научиться решать задачи
с использованием средств аналитической геометрии.

В предлагаемых методических рекомендациях даны варианты контрольных работ, справочный материал, необходимый для их выполнения,
а также примеры решения контрольных работ.

Методические указания к изучению тем
"Аналитическая геометрия на плоскости"
И "Элементы линейной алгебры.
Аналитическая геометрия в пространстве"

В таблице приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и необходимая литература. Перед выполнением контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1

Номер конт-рольной работы	Номер задачи	Наименования тем	Литература
		Декартовы координаты точек на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнения прямой линии на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости	[1], гл. III, § 9.1, 9.2, 10.1, 10.2, 10.3; [2], гл. 3, § 1 - 2, 5, 6; [3], ч. 1, гл.I, № 16 - 20, 74, 76, 99, 100, 102, 105, 111 - 114, 119, 121; [4], гл. 3, № 21, 24, 25, 29, 39, 86 - 88, 91, 94, 95, 122
		Уравнения линий на плоскости в декартовых координатах	[1], гл. III, § 10.1; [2], гл. 3, § 5; [3], ч. 1, гл. I, № 44, 47, 48, 150; [4], гл. 3, № 52, 55, 60 - 67, 136, 148, 159
	3, 4	Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Точки пересечения линий на плоскости	[1], гл. III, § 9.3, 11; [2], гл. 3, § 7, 8; [3], ч. 1, гл. I, № 134, 136, 144, 145, 149, 155 - 157, 169, 170, 187 - 195; [4], гл. 3, № 126, 128, 139, 141, 150 - 152, 156
		Полярные координаты точки на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами. Уравнения линий на плоскости в полярных координатах	[1], гл. III, § 9.1, 10.1; [2], гл. 3, § 3, 5; [3], ч. 1, гл. I, № 29, 30, 33 - 35, 49 - 51; [4], гл. 3, № 44, 45, 53(5), 54
		Матрицы. Операции над матрицами	[1], гл. I, § 1; [2], гл. 10, § 1; [3], ч. 1, гл. IV, № 399 - 403, 414, 415
		Определители. Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы	[1], гл. I, § 2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.3; [2], гл. 10, § 2 - 4; [3], ч. 1, гл. I, № 210, 211, 217, 219, 225 - 227; [4], гл. 7, № 20 - 25, 38 - 43

Окончание табл. 1

Номер конт-рольной работы	Номер задачи	Наименования тем	Литература
		Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов	[1], гл. II, § 5 - 8; [2], гл. 9, § 1 - 4, 6 - 8; [3], ч. 1, гл. II, № 244, 248, 256 - 266, 284; [4], гл. 10, № 37, 47, 48, 51, 72, 73, 77, 83 - 84
		Плоскость и прямая линия в пространстве	[1], гл. IV, § 12.1 - 12.6; [2], гл. 9, § 11 - 13; [3], ч. 1, гл. III, № 288, 289, 302, 307, 314, 325, 333, 334, 341; [4], гл. 10, № 104, 113, 119, 131, 132, 141, 151, 153

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии
с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме
"Аналитическая геометрия на плоскости"

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

у = k x + b. (6)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):

х = а. (7)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х₀; у₀) (уравнение пучка прямых):

у – y₀ = k(x – x₀). (8)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂):

. (9)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k₁ x + b₁ и у = k₂ x + b₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k₁ = k₂. (11)

Условие перпендикулярности прямых:

. (12)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то k₁ = 0 и обратно: если k₂ = 0, то k₁ не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (13)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k₂ не существует, то .

Кривые второго порядка

Каноническое уравнение эллипса:

. (14)

Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):

O – центр эллипса;

с – фокусное расстояние;

F₁(–c; О), F₂(c; О) – фокусы эллипса;

|А₁А₂| = 2a– длина большой оси;

а– большая полуось эллипса;

|B₁B₂| = 2b – длина малой оси;

b– малая полуось эллипса.

Для эллипса справедливо: c² = a²– b².

Число называется эксцентриситетом эллипса .

Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).

В этом случае фокусы эллипса F₁(О; –c), F₂(О; c),эксцентриситет и справедливо c² = b² – a².

Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:

x² + y² = R²,

где R= a= b.

В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .

Каноническое уравнение гиперболы:

. (15)

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F₁(–c; 0), F₂(c; 0) – фокусы гиперболы;

|А₁А₂| = 2a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B₁B₂| = 2b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

.

Для гиперболы справедливо: с² = a² + b².

Число называется эксцентриситетом гиперболы .

Канонические уравнения параболы.

Рис. 7	Существуют 4 вида канонических уравнений параболы: х2 = 2ру. (16) Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = – . х2 = –2ру. (17) Фокус F(0; – ), уравнение директрисы: у = . у2 = 2рх. (18) Фокус F( ; 0), уравнение директрисы: х = – . у2= –2рх. (19) Фокус F(– ; 0), уравнение директрисы: х = .
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат в точку O₁(α; β).При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X₁O₁Y₁ будут (х₁; у₁), где

(20)

Примеры таких преобразований приведены в табл. 2.

Таблица 2

В системе координат ХОY	В системе координат X1O1Y1
Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:	Каноническое уравнение окружности:
Эллипс с центром в точке O1(α;β):	Каноническое уравнение эллипса:
Гипербола с центром в точке O1(α;β):	Каноническое уравнение гиперболы: .
Параболы с вершиной в точке O1(α;β) или .	Канонические уравнения парабол: или

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 1

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1),
В(4; 6), С(8; –2).

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

Задача 2. Даны координаты точки А (3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4
и число λ = 3 : 2.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.

Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка:
+ .

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка
и уравнение прямой l: x +2y – 3 = 0.

Требуется:

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;

2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;

3) построить обе линии в исходной системе координат.

Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК):

.

Требуется:

1) найти область определения функции ;

2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках = 0, 1, ..., 16, принадлежащих области определения функции ;

3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР;

4) определить тип кривой.

Решение задачи 1

1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):

|BС| = =

=

2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):

y = –2x + 14 – уравнение ВС.

3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):

и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .

Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим

.

4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK. Так как , то .

Уравнение AK получим по формуле (8):

у – уА = kAK(x– xA) у – (–1) = (x– (–3))

x –2y + 1 = 0 – уравнение AK.

5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т. е. .

Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):

М(6; 2).

Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная
от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):

P (3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.

6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.

Ответы:

1) длина стороны |BС| = ;

2) уравнение стороны ВС:
y = –2x + 14;

3) угол при вершине В: ;

4) уравнение высоты АK: x –2y +
+ 1= 0;

5) координаты центра тяжести треугольника P (3; 1);

6) чертеж на рис. 11

Решение задачи 2

Пусть М (х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т. е. где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит
на прямой 3x = 4, то K .

Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:

.

Это и есть уравнение искомой траектории, так как ему удовлетворяют координаты любой точки М (х; у) на этой траектории.

Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат
и приведем подобные члены:

,

откуда получаем

– уравнение гиперболы с полуосями

.

Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).

Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.

Решение задачи 3

Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Получили уравнение эллипса с центром в точке O₁(5; –2) (см. табл. 2
в разделе "справочный материал").

Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY
по формулам: получим каноническое уравнение эллипса в системе координат X₁O₁Y₁, где O₁(5; –2) в системе XOY (рис. 14).

Найдем характерные элементы эллипса:

.

Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X₁O₁Y₁: F₁(– ; 0), F₂( ; 0).

Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:

Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:

F₁(– ; –2), F₂( ;–2).

Вычислим эксцентриситет эллипса:

Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).

Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где

Характерные элементы:

– O₁(5; –2) – центр эллипса;

– а = 3 – б большая полуось эллипса, b = 2 – малая полуось эллипса;

– с = – фокусное расстояние;

– координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F₁(– ; –2), F₂( ; –2);

– эксцентриситет эллипса

Чертеж на рис. 14.

Решение задачи 4

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

.

Получили уравнение параболы вида с вершиной
в точке (см. табл. 2 в разделе "справочный материал"). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам:
В результате получим каноническое уравнение параболы в системе координат X₁O₁Y₁.

2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А (3; 0)
и В (1; 1).

3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).

Ответы: 1) ;

2) А (3; 0), В (1; 1);

3) чертеж на рис. 15.

Решение задачи 5

1) Область определения функции найдем из условия :

При n = 0 получаем при интервалы Следовательно, область определения

2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции
в точках 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т. е.
в точках, где выполнено условие , и заполним табл. 3.

Таблица 3

k			k
		–	–	–	–
	π/8	–		9π/8	3,7
	2π/8	–		10π/8	2,8
	3π/8	–		11π/8	1,5
	4π/8			12π/8
	5π/8	1,5		13π/8	–
	6π/8	2,8		14π/8	–
	7π/8	3,7		15π/8	–
					–

Для построения точек кривой в ПСК
в каждом из направлений, задаваемых углом , откладываем от полюса отрезок длины . Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции в ПСК (рис. 16).

3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.

Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим: .

Следовательно, уравнение кривой в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка: .

4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:

.

Это уравнение задает окружность с центром в точке O₁(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O₁(–2; 0) в ПСК:

,

(здесь выбираем n = 1, так как четверти (формулы (5)).

Ответы:

1) область определения:

2) чертеж на рис. 16;

3) уравнение кривой в ДСК: ;

4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2.

Справочный материал по темам
"Элементы линейной алгебры. Аналитическая
геометрия в пространстве"

Матрицы

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

A_m´n = ,

где a_ij – элементы матрицы, i = 1, 2, …, m – номер строки, j = 1, 2, …,
n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

1) нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

2) при n = 1 матрица-столбец: X = ;

3) при m = 1 матрица-строка: Y = ;

4) при m = n квадратная матрица: A_n´n = .

У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a₁₁ и a_nn) и побочную диагональ.

Примеры квадратных матриц:

1) единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули):

E = ;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

A_m´n = B_m´n Û a_ij = b_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Определители

Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):

det A = = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁. (24)

Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка):

det A =

(25)

Для краткости определитель обозначают: |A| или Δ.

Минором элемента a_ij определителя называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца (обозначается M_ij).

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя (обозначается A_ij) называется число:

A_ij = (–1)^i+j× M_ij. (26)

Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:

, (27)

или, в краткой записи:

,

т.е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки
на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.

4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными методом Крамера

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными :

(28)

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_j для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел называется решением системы (28), если
в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

Систему (28) можно переписать в матричном виде:

,или AX = B,

где A – это матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов:

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

(29)

Определитель Δ называется главным определителем системы (28). Вспомогательные определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃ получаются из Δ заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (28) и оно выражается формулами:

(30)

Формулы (30) называются формулами Крамера.

5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений
при помощи обратной матрицы

Присоединенной (союзной) матрицей к квадратной матрице

А = называется матрица

, (31)

где – алгебраические дополнения элементов определителя матрицы А.

Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено условие: , где Е – единичная матрица той же размерности, что и А.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица А – невырожденная, т. е. .

Чтобы найти обратную матрицу , необходимо:

а) проверить невырожденность матрицы А, вычислив определитель detA;

б) найти союзную матрицу А^* к матрице А;

в) найти обратную матрицу по формуле:

. (32)

Если систему линейных алгебраических уравнений (28) переписать
в матричном виде AX = B, то ее решение можно получить матричным способом, т. е. при помощи обратной матрицы:

, (33)

где – обратная матрица для данной матрицы А.

Решение задачи 1

Записываем матричный многочлен: Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т. е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A². При умножении матрицы A на себя используем правило "строка на столбец" (формула (23)):

A² = A·A =

Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):

E =

Теперь найдем значение матричного многочлена f(A),используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Ответ:

Решение задачи 2

1) Запишем систему в матричном виде:

, или AX = B,

где

(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х₃, т. е. а₂₃ = 0).

2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых част