Декартова система координат

Содержание

Введение

Декартова система координат на прямой.

Декартова система координат на плоскости

Декартова система координат в пространстве

Формула для вычисления расстояния между точками

В декартовой системе координат

Полярная система координат

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

Деление отрезка в отношении

Барицентрическая система координат

Барицентрическая система координат на прямой

Барицентрическая система координат на плоскости

Барицентрическая система координат в пространстве

Примеры применения барицентрической системы координат

От направленного отрезка к вектору

Умножение вектора на число

Сумма векторов

§ 11. Базис пространства V².

§ 12. Базис пространства V³.

Аффинная система координат

Краткие сведения из линейной алгебры.

Матрицы и операции над ними.

Определитель квадратной матрицы.

Изменение координат вектора при смене базиса

Изменение координат точки при переходе из одной аффинной системы координат в другую аффинную систему координат

§ 17. Ориентация пространства Vⁿ.

Скалярное произведение векторов

§ 19. Косое произведение векторов в V²

§ 20. Векторное произведение векторов в V³

§ 21. Смешанное произведение векторов в V³

Аналитическое задание множества

22.1. Задание множества уравнением.

Задание множества неравенством.

Задание множества системой уравнений/неравенств.

Задание множества совокупностью уравнений/неравенств.

Аналитическое задание прямой на плоскости

Общее уравнение прямой.

Параметрическое задание прямой.

Каноническое уравнение прямой (уравнение прямой по двум данным точкам).

§ 24. Аналитическое задание полуплоскости* (на плоскости)

Угол между прямыми на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Аналитическое задание плоскости в пространстве

Аналитическое задание полупространства

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до плоскости

Аналитическое задание прямой в пространстве

Задание общими уравнениями

Параметрическое задание прямой

Каноническое уравнение прямой (уравнение прямой по двум данным точкам).

Вычисление угла между прямыми в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Угол между прямой и плоскостью.

Кривые второго порядка

Классификация кривых второго порядка

Исследование кривых второго порядка по их каноническим уравнениям

Эллипс

Гипербола

Геометрическое определение кривых второго порядка

Полярные уравнения кривых второго порядка

Поверхности второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка

Исследование поверхностей второго порядка

(методом сечений)

Эллипсоид

Эллиптический цилиндр

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

Конус

Однополостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид (седло)

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида

Введение

Данное пособие представляет собой конспект лекций по аналитической геометрии, которые читались на факультете математики Кобельским Виктором Леонидовичем студентам специальности «050201 математики» и направления «050200 физико-математическое образование».

Лекционный теоретический материал снабжен сериями упражнений и задач.

Рекомендуется для студентов математических и технических специальностей и направлений.

Принятые обозначения:

R– поле действительных чисел

Rⁿ– прямое произведение n экземпляров множества R

Eⁿ –

при n = 1 евклидова прямая

при n = 2 евклидова плоскость

при n = 3 евклидово пространство

на котором определена функция расстояния*.

*Замечание. Будем говорить, что на множестве E¹ введена функция расстояния, если определено такое отображение r: E¹´ E¹ ® R, что:

1. r - неотрицательная функция: r (A,B) ³ 0 для любых двух точек A,B, Î E¹;

и r(A,B) = 0 Û A = B

2. r - симметричная функция: r (A,B) = r(B,A) для любых двух точек A,BÎ E¹;

3. «Неравенство треугольника»: r(A,B) + r (B,C) ³ r(A,C) для любых трех точек A,B,СÎ E¹; и r(A,B) + r (B,C) = r(A,C) Û точка B лежит между точками A и C;

4. Существуют точки A,B Î E¹ такие, что r (A,B) = 1.

Расстоянием между точками A и B и длиной отрезка [AB] называю значение функции r(A,B).

Чаще всего длину отрезка [AB] обозначают |AB|, то есть по определению |AB| = r(A,B).

Отрезок, длина которого равна единице, называют единичным отрезком.

В рамках аксиоматического построения геометрии (евклидовой) доказываются следующие факты:

- Два отрезка равны тогда, и только тогда когда равны их длины.

- На любом луче можно отложить отрезок любой наперед заданной длины, и при том единственным образом, то есть для любого числа r ³ 0 на любом луче существует ровно одна точка A такая, что |OA| = r, где O - начало луча l.

|| Декартова система координат - student2.ru || = , где Î Rⁿ и = (x₁, … , x_n);